Вероятность находится в голове

Вчера я говорил об ошибке проецирования ума, рассматривая пример монстра-пришельца, который уносил девушку в порванном платье, об ошибке, которую я приписал тому, что художник думал о сексуальности женщины как о свойстве самой женщины, женщина.сексуальность, а не о чём-то, что существует исключительно в голове наблюдателя и, вероятно, не существует в голове пришельца.

Термин «ошибка проецирования ума» был введён великим покойным мастером байесианства Э. Т. Джейнсом. Джейнс полагал, что вероятности существуют в уме — не в окружении, — что вероятности выражают незнание, состояние частичной информации, и если я не знаю что-либо о явлении, то это говорит о состоянии моего ума, и ничего не говорит о явлении.

Я не могу отдать должное этому древнему спору, оставаясь при этом кратким, но я приведу классический пример.

У вас есть монета.
Монета несимметрична.
Вы не знаете, какая именно сторона выпадает чаще и насколько чаще. Кто-то сказал вам о том, что монета несимметрична и ничего больше.
Больше никакой информации у вас нет.

Вы вытаскиваете монету, подкидываете её, ловите.

А теперь, прежде чем убрать руку и взглянуть на результат, можете ли вы сказать, что вы приписываете вероятность 0,5 тому, что монета упала орлом?

Частотник (сторонник частотного определения вероятности — прим. перев.) скажет: «Нет. Сказать, что вероятность равна 0,5, значит подразумевать, что монета имеет неотъемлемое свойство падать орлом так же часто, как и решкой, а значит, если мы подкинем монету бесконечное число раз, то отношение орлов и решек будет стремиться к 1:1. Но мы знаем, что монета несимметрична, поэтому она может иметь любую вероятность выпадения орла кроме 0,5».

Байесианец же скажет: «Неопределённость существует на карте, не на территории. В реальном мире монета выпадет либо орлом, либо решкой. Любой разговор о вероятности должен отражать ту информацию, которую я имею о монете — моё состояние частичного незнания и частичного знания, — а не какую-то там информацию о монете. Более того, у меня есть теоремы на любой вкус, показывающие, что если я не буду рассматривать моё частичное знание определённым образом(English), то я буду делать глупые ставки. Если мне придётся учитывать результат броска монеты при составлении плана, то я буду планировать исходя из состояния неопределённости 50:50, в котором я не могу сказать, что исходы, при которых выпадают орлы, имеют больший вес, чем исходы, при которых выпадают решки. Вы можете называть это число как угодно, но я не намерен подчиняться законам теории вероятностей из страха показаться глупым. Таким образом, я не испытываю ни малейшей нерешительности, когда называю такое взвешивание исходов вероятностью».

Я на стороне байесианцев. Вы могли это уже заметить.

Ещё до того, как симметричная монета подброшена в воздух, мнение о том, что она имеет неотъемлемую вероятность 50% упасть орлом может быть элементарно ошибочно. Может быть вы держите монету таким образом, что она гарантированно упадёт орлом или решкой, при данной силе, с которой вы подбрасываете её, и при данных движениях воздуха вокруг вас. Но если вы не знаете каким образом смещены вероятности монеты в данном конкретном случае, то что?

Если я не ошибаюсь, было судебное разбирательство, в котором истец предъявлял претензии организаторам лотереи: карточки с именами участников не были перемешаны достаточно тщательно и поэтому шансы были не равны. Судья выслушал и спросил: «Кто именно имел больше шансов?»

Чтобы сделать эксперимент с монеткой повторяемым, как того имеют обыкновение требовать частотники, мы можем создать автоматический подбрасыватель монет и убедиться, что результаты 50% орлов и 50% решек. Но, быть может, робот с особо чувствительными глазами и хорошим пониманием физики сможет, наблюдая за приготовлениями автоподбрасывателя, предсказать падение монеты заранее — пускай и не совершенно определённо, но, допустим, с точностью 90%. И чем тогда будет настоящая вероятность в этом случае?

Не существует «настоящей вероятности». Робот имеет какую-то частичную информацию. Вы имеете другую частичную информацию. Монета не имеет ума и не владеет никакой информацией, она не назначает никаких вероятностей, она просто взлетает в воздух, переворачивается несколько раз, сталкиваясь с каким-то количеством молекул воздуха, а затем приземляется либо орлом, либо решкой.

Это байесианская точка зрения, и я, пожалуй, покажу несколько классических головоломок, которые обретают свою головоломность из-за склонности думать о вероятностях как о неотъемлемых свойствах объектов.

Начнём со старой классики: вы встретили на улице математика и она случайно упомянула, что у неё два ребёнка. Вы спросили: «Хотя бы один из них мальчик?» Она ответила: «Да».

Какова вероятность того, что она родила двоих мальчиков? Если вы предположите, что вероятность того, что ребёнок — мальчик, равна 1/2, то вероятность того, что у неё два мальчика равна 1/3. Априорные вероятности такие: 1/4 для двух мальчиков, 1/2 для мальчика и девочки, 1/4 для двух девочек. Ответ математика «да» имеет вероятность ~1 в первых двух случаях и ~0 в третьем. Перенормируя вероятности мы получаем 1/3 вероятности двух мальчиков, и 2/3 вероятности мальчика с девочкой.

Предположим теперь, что вы задали другой вопрос: «Старший ребёнок — мальчик?», и математик ответила: «Да». Тогда вероятность того, что у математика два мальчика будет равна 1/2. Поскольку старший ребёнок — мальчик, а младший может быть кем ему нравится.

То же самое, если бы вы спросили: «Младший ребёнок — мальчик?». Вероятность двоих мальчиков опять же 1/2.

В этом случае, если хотя бы один ребёнок — мальчик, то он должен быть либо старшим, либо младшим. Так каким образом ответ в первом случае отличается от ответа в двух других?

Есть другой похожий пример: допустим, у меня есть четыре карты — туз червей, туз пик, двойка червей и двойка пик. Я беру из них в руку две карты случайным образом. Вы спрашиваете меня: «Держишь ли ты хотя бы одного туза?» и я отвечаю: «Да». Какова вероятность того, что я держу пару тузов? Ответ: 1/5. Существует шесть различных комбинаций из двух карт с равной априорной вероятностью, и вы исключили возможность, что я держу пару двоек. Из пяти оставшихся комбинаций только одна является парой тузов. Таким образом ответ: 1/5.

Теперь предположим, что вы спросили меня: «Держишь ли ты туза пик?» Если я отвечу «да», то вероятность того, что другая карта — туз червей равна 1/3. (Вы знаете, что я держу туза пик, и существует три возможных варианта для другой карты, туз червей — ровно один из них.) Точно так же, если вы спросите меня «Держишь ли ты туза червей?» и я отвечу «да», то вероятность того, что я держу пару тузов равна 1/3.

Но как такое может быть, если в случае вопроса «Держишь ли ты по крайней мере одного туза?» и ответа «Да», вероятность того, что я имею пару была 1/5? Я должен был держать либо туза пик, либо туза червей, как вы знали; и в любом случае вероятность того, что я держу пару тузов равна 1/3.

Как такое может быть? Может я вычитал какие-то вероятности неверно?

Если вы хотите выяснить это самостоятельно, то сделайте это сейчас, потому что я собираюсь раскрыть…

Все указанные расчёты верны.

Что же до парадокса, то его нет. Видимость парадокса возникает из-за того, что вероятности рассматриваются как свойства карт. Туз, которого я держу, может иметь масть либо червей, либо пик; но это не означает, что ваше знание о моих карт должно быть одинаковым, если вы знаете, что я держу червей, или вы знаете, что я держу пики.

Тут может помочь теорема Байеса:

P(H|E) = P(E|H)P(H) / P(E)

Последняя часть, где вы делите на P(E) — это часть, где вы отбрасываете все остальные возможности, которые были исключены и перенормируете ваши вероятности к тому, что осталось.

Давайте рассмотрим вопрос «Держишь ли ты по крайней мере одного туза?». Прежде чем я ответил, ваша вероятность того, что я скажу «да» должна была быть 5/6.

Но если вы спросили меня «держишь ли ты туза пик?», то ваши априорная вероятность того, что я скажу «да», всего лишь 1/2.

То есть, как вы видите, вы узнаёте весьма разные вещи в этих двух разных случаях. Вам придётся исключать и перенормировать какие-то различные возможности, используя разную P(E). Если вы узнаете разные свидетельства, то вам не следует удивляться, если в результате вы приходите к разной частичной информации.

Точно так же, если я спросил математика: «Есть ли среди твоих детей мальчик?», то я ожидал услышать «Да» с вероятностью 3/4, но если бы я спросил: «Старший ребёнок — мальчик?», то я бы ожидал услышать «да» с вероятностью 1/2. Таким образом, совершенно неудивительно, что я пришёл к разному частичному знанию, зависящему от того, какой именно из этих двух вопросов я задал.

Единственная причина того, почему видится парадокс, в том, что вероятность пары тузов рассматривается как свойство карт которые имеют, по крайней мере, одного туза, или как свойство карт, которые, как выясняется, содержат туза пик. В этом случае, для набора карт, имеющего по крайней мере одного туза, было бы парадоксальным иметь прирождённую вероятность пары равную 1/5, в то время как наборы карт, имеющие одного туза пик, имеют прирождённую вероятность пары равную 1/3, и наборы карт, имеющие туза червей, имеют прирождённую вероятность пары 1/3.

Точно так же, если вы считаете о вероятности 1/3 того, что оба ребёнка мальчики, что это прирождённое свойство наборов детей, которые включают хотя бы одного мальчика, то это не совместимо с наборами детей, из которых старший — мальчик, имеющими прирождённую вероятность 1/2 того, что оба мальчики, также как и наборы детей, имеющие младшего мальчика, имеют врождённую вероятность того, что оба — мальчики. Это было бы тоже самое, что и сказать: «Все зелёные яблоки весят по фунту, все красные яблоки весят по фунту, и все яблоки, которые зелёные или красные, весят по полфунта».

Это то, что случается, когда вы начинаете думать о вероятностях как о чём-то, что содержится в вещи, вместо того, чтобы рассматривать вероятности как отражение частичной информации о вещи.

Вероятности описывают неопределённость. Но неопределённость существует лишь для агентов. Пустая карта не соответствует пустой территории. Незнание существует в голове.