Задача о сундуках

Автор Тема: Задача о сундуках  (Прочитано 17987 раз)

Воробышёк

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 12
  • +3/-0
    • Просмотр профиля
Задача о сундуках
« : 28 Июль 2017, 16:16 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Старая задачка. Проверим, насколько посетители этого форума могут в теорвер. 
       
    Цитировать
    У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по две монетки. В первом — две золотых. Во втором — две серебрянных. В третьем — одна золотая и одна серебрянная.

    Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #1 : 31 Июль 2017, 11:09 »
  • (+)1
  • (−)2
  • По условию есть два сундука, из которых можно было бы с первого раза вытащить золотую. Из них только в одном лежит вторая золотая монета. Так что вероятность 1/2.

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #2 : 31 Июль 2017, 15:45 »
  • (+)1
  • (−)0
  • По условию есть два сундука, из которых можно было бы с первого раза вытащить золотую. Из них только в одном лежит вторая золотая монета. Так что вероятность 1/2.
    Правильно. А еще этому же равна вероятность встретить динозавра на Невском.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #3 : 31 Июль 2017, 16:05 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Это одна из форм небезызвестного парадокса Монти Холла.

    Если ответ "1\2" кажется вам верным, попробуйте немного изменить условие задачи:

    Цитировать
    У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по десять монеток. В первом — все золотые. Во втором — все серебряные. В третьем — одна золотая и девять серебряных.

    Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что следующая монетка, которую я вытащу из этого сундука, — тоже золотая?

    1\2 уже не кажется таким уж верным ответом, не так ли?

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #4 : 31 Июль 2017, 20:19 »
  • (+)0
  • (−)1
  • В последнем случае вероятность тоже равна 1/2
    Апеллирую к обычным правилам подсчета вероятностей.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #5 : 01 Август 2017, 10:12 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Тогда я предлагаю вам сыграть в эту игру на деньги.

    Напишем код, имитирующий ситуацию с тремя сундуками по 10 монет в каждой.

    Я поставлю свои 500 рублей против ваших 100 на каждой итерации — если вы верите, что вероятность 1\2, для вас эта игра на дистанции астрономически выгодная.

    Сыграем?

    Al1

    • Постоялец
    • ***
    • Сообщений: 213
    • +74/-11
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #6 : 01 Август 2017, 10:44 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Ставить минусы за каждую попытку ответа - отличный способ помочь людям разобраться в ситуации. Очень рациональный.

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #7 : 01 Август 2017, 10:57 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Господин Философ! Я не играю на деньги. Вместо этого предлагаю Вам, если Вы считаете что 1/2 неправильный ответ, привести правильный в виде конкретного числа, а также хотя бы схематически объяснить, как именно Вы его получили.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #8 : 01 Август 2017, 11:03 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Правильный ответ на эту задачу составляет 2/3 и элементарно гуглится, это один из классических "вероятностных парадоксов". Вот одно из простых объяснений:

    Цитировать
    Выбрать сундук и достать монету можно 6 равновероятными способами:
    -пкрвый сундук, первая монета из него (золото)
    -первый сундук, вторая монета (золото)
    -второй сундук, первая монета (серебро)
    -второй сундук, вторая монета (серебро)
    -третий сундук, первая монета (золото)
    -третий сундук, вторая монета (серебро).
    Из этих 6 вариантов, нас устраивают 3. Из этих трех мы в 2 вытащим золото, в 1 серебро.
    Ответ: две трети.

    Ответ также очень легко проверяется экспериментально при помощи всё тех же нескольких строк кода, можно посмотреть например вот здесь

    Al1

    • Постоялец
    • ***
    • Сообщений: 213
    • +74/-11
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #9 : 01 Август 2017, 11:05 »
  • (+)0
  • (−)1
  • Ситуация напоминает задачу с монетой.
    Какова вероятность, что выпадет решка? 1/2
    Мы кинули монету один раз. Выпала решка. Какова вероятность, что при броске (следующем, например) выпадет решка? 1/2
    Мы кинули монету один раз. Выпала решка. Какова вероятность, два раза подряд выпадет решка? 1/4

    При такой формулировке, как в задаче, не вполне ясно, нужно ли учитывать первоначальную вероятность вытащить золотую монету из трех сундуков с 2 монетами в каждом, или об этом нужно забыть и считать только 2 сундука с одной монетой (з или с) в каждом. Т.е. считать совокупную вероятность результата 2х выборов подряд, или только второго.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #10 : 01 Август 2017, 11:14 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Это не так.

    Из изначального условия вполне можно убрать третий сундук, ни рассуждения, ни ответ от этого не изменятся.

    Цитировать
    У нас есть два сундука, в каждом из которых лежит по две монетки. В первом — две золотых. Во втором — одна золотая и одна серебряная.

    Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?

    Ответ всё равно 2/3

    Кроме уже упоминаемого Монти Холла, вот ещё парочка похожих парадоксов.

    Al1

    • Постоялец
    • ***
    • Сообщений: 213
    • +74/-11
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #11 : 01 Август 2017, 11:44 »
  • (+)0
  • (−)1
  • Философ, остается вопрос, не стоит забыть ли еще и про первую вытащенную монету, и что их вообще было по две в каждом сундуке (т.к. это аналог "два раза _подряд_" из примера). В указанных обстоятельствах, вероятность получить золото во втором выборе, если первый дал золото - да, 2/3 (подобно тому, как в случае с решкой вероятность выпасть дважды 1/4). Вероятность получить золото при случайном выборе из двух коробок с одной золотой или одной серебряной монетой - по прежнему, 1/2.

    Формулировка цели задания неоднозначна, вот в чем затык.

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #12 : 01 Август 2017, 12:06 »
  • (+)0
  • (−)1
  • Выбрать сундук и достать монету можно 6 равновероятными способами:
    -пкрвый сундук, первая монета из него (золото)
    -первый сундук, вторая монета (золото)
    -второй сундук, первая монета (серебро)
    -второй сундук, вторая монета (серебро)
    -третий сундук, первая монета (золото)
    -третий сундук, вторая монета (серебро).
    Это неверно. По условию задачи Вы вначале выбираете СУНДУК и монету из него. Потом выбираете еще одну монету ИЗ ЭТОГО ЖЕ сундука. Поэтому 6 перечисленных способов вовсе не являются "равновероятными". Если, скажем, Вы выбрали первый сундук, то уже никак не сможете достать монету из второго.
    Позвольте намекнуть Вам, г-н философ, что речь в задаче идет об условных вероятностях. Парадоксы Монти Холла тут не по делу, это другая задача.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #13 : 01 Август 2017, 13:18 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Ваш Тардис сломался и равновероятно высадил вас либо на Невский проспект 2017-го года, либо куда-то на Землю в Юрский период. Вы вышли из Тардиса и увидели динозавра. Какова вероятность, что вы попали в Юрский период?

    Вы получаете 1\2, исходя из двух сундуков. Это в корне неверно, т.к. наличие двух альтернатив не означает, что они равновероятны.

    Пожалуй, я не буду продолжать этот диалог. Задача очень старая, чисто математическая, и решение у неё строго одно и единственно верное — 2/3. Этот форум совершенно точно не то место, где мне хотелось бы воевать с ветряными мельницами и доказывать очевидное.

    Если вы заинтересованы в том, чтобы разобраться, все материалы выше уже предоставлены, включая строгое однозначное доказательство при помощи кода.

    Если хотите спорить с математикой, пожалуйста, но без меня :)

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #14 : 01 Август 2017, 13:31 »
  • (+)2
  • (−)0
  • При такой формулировке, как в задаче, не вполне ясно, нужно ли учитывать первоначальную вероятность вытащить золотую монету из трех сундуков с 2 монетами в каждом, или об этом нужно забыть и считать только 2 сундука с одной монетой (з или с) в каждом. Т.е. считать совокупную вероятность результата 2х выборов подряд, или только второго.
    В математических задачах никогда не "нужно" забывать об условиях. Иногда забывать об условиях "можно" - после того, как доказано, что от этого ответ не меняется.
    Поэтому 6 перечисленных способов вовсе не являются "равновероятными". Если, скажем, Вы выбрали первый сундук, то уже никак не сможете достать монету из второго.
    И где у fil0sof'а вынимаются две монеты из разных сундуков? И не затруднит ли вас выписать, какие по-вашему априорные вероятности указанных им исходов?

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #15 : 01 Август 2017, 13:32 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Если вы заинтересованы в том, чтобы разобраться, все материалы выше уже предоставлены, включая строгое однозначное доказательство при помощи кода.
      Не вижу.

    Добавлено 01 Август 2017, 13:55:
    И где у fil0sof'а вынимаются две монеты из разных сундуков? И не затруднит ли вас выписать, какие по-вашему априорные вероятности указанных им исходов?
    -первый сундук, первая монета из него (золото)
    -второй сундук, вторая монета (серебро)

    Это как бы из разных сундуков.
     Внимательно читаем условие:
    "Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?"
    На самом деле соответствующее задаче пространство элементарных событий F состоит из трех  точек, соответствующих возможным выборам трех сундуков. В нем можно выделить множество A, состоящее из точек, соответствующих выбору таких сундуков, что вытащеннная оттуда монетка оказалась золотой. Таких точек две. Наконец, во множестве A выделяем подмножество B, соответствующее таким сундукам, что и оставшаяся монета золотая. Оно состоит из одной точки. Тогда по формуле для определения условной вероятности
    https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C
     получаем, что нужная нам вероятность 1/2.
    « Последнее редактирование: 01 Август 2017, 13:55 от mcquadrat »

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #16 : 01 Август 2017, 14:11 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Это как бы из разных сундуков.
    Это как бы два разных элементарных исхода (из 6). Они все про первую монету (по которой вторая однозначно восстанавливается).

    Внимательно читаем условие:
    "Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?"
    На самом деле соответствующее задаче пространство элементарных событий F состоит из трех  точек, соответствующих возможным выборам трех сундуков.
    Нет, не так.
    "Сделали X, оказалось, что Y" означает, что вероятностное пространсво мы строим без учета Y, а уже потом относительно него обуславливаемся. Например, "вытащили монету, она оказалась золотой" - значит, что могли вытащить и серебряную, но смотрим только на случаи, когда вытащили золотую.
    Если вы с этим не согласны, то укажите, пожалуйста, вашу трактовку "сделали X, оказалось, что Y".

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #17 : 01 Август 2017, 14:33 »
  • (+)0
  • (−)0
  • "Сделали X, оказалось, что Y" означает, что вероятностное пространсво мы строим без учета Y, а уже потом относительно него обуславливаемся. Например, "вытащили монету, она оказалась золотой" - значит, что могли вытащить и серебряную, но смотрим только на случаи, когда вытащили золотую.
    Если вы с этим не согласны, то укажите, пожалуйста, вашу трактовку "сделали X, оказалось, что Y".
    Напротив, я как раз именно это и пытаюсь объяснить =)
    В нашем случае "сделали X" - это выбрали сундук. "Оказалось, что Y" - оказалось, что там была золотая монета.
    Вероятностное пространство построено без учета Y - три сундука.
    Сделать X так чтобы оказалось что Y - значит выделить в нем подмножество из двух точек.

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #18 : 01 Август 2017, 14:49 »
  • (+)0
  • (−)0
  • В нашем случае "сделали X" - это выбрали сундук. "Оказалось, что Y" - оказалось, что там была золотая монета.
    А почему такая дискриминация - выбор сундука вслепую учитывается в вероятностном пространстве, а выбор монеты - нет?
    Если потому что нам дальше дается какая-то информация про монету - ну так она является и информацией про сундук.

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #19 : 01 Август 2017, 15:20 »
  • (+)0
  • (−)1
  • А почему такая дискриминация - выбор сундука вслепую учитывается в вероятностном пространстве, а выбор монеты - нет?
    Если потому что нам дальше дается какая-то информация про монету - ну так она является и информацией про сундук.
    Потому что условие задачи такое=) Там черным по белому сказано:
    "Я выбрал сундук случайным образом"
    Не монеты он выбирал, а сундук! Сундук!!!
    Невнимательно относиться к условиям задачи позволительно разве лишь философам))

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #20 : 01 Август 2017, 15:26 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Потому что условие задачи такое=) Там черным по белому сказано:
    "Я выбрал сундук случайным образом"
    "Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку"

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #21 : 01 Август 2017, 16:23 »
  • (+)0
  • (−)0
  • "Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку"
      Да. Но монетку он вытащил уже после выбора сундука. Вытаскивание золотой монетки - это и есть условие для подсчета вероятности: золотая монета могла находиться в двух сундуках из трех.

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #22 : 01 Август 2017, 16:30 »
  • (+)0
  • (−)0
  •   Да. Но монетку он вытащил уже после выбора сундука.
    Ну да, но у нас же есть цепное правило - как последовательность выборов свести к одному. Выбор сначала сундука, потом монетки эквивалентен некоторому выбору сразу монетки. Т.к. сундуки равновероятны, и содержат одинаковое число монет - то экивалентен выбору монетки равномерно.

    Давайте возьмем такую задачу: 3 сундука, выбрали вслепую сундук, выбрали вслепую из этого сундука монетку. Каковы вероятности:
    1) того, что выбранная монетка золотая?
    2) того, что оставшаяся монетка золотая?
    3) того, что и выбранная монетка золотая, и оставшаяся монетка золотая?
    4) [бонус] того, что оставшаяся монетка золотая при условии, что выбранная монетка золотая.

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #23 : 01 Август 2017, 17:06 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Давайте возьмем такую задачу: 3 сундука, выбрали вслепую сундук, выбрали вслепую из этого сундука монетку. Каковы вероятности:
    1) того, что выбранная монетка золотая?
    2) того, что оставшаяся монетка золотая?
    3) того, что и выбранная монетка золотая, и оставшаяся монетка золотая?
    4) [бонус] того, что оставшаяся монетка золотая при условии, что выбранная монетка золотая.

    1) 1/2
    2) 1/2
    3) 1/3
    4) 2/3   

    Считал в уме, поправьте, если ошибаюсь))

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #24 : 01 Август 2017, 17:23 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Да, так.
    Теперь вопрос: в чем разница между "выбрали сундук, вытащили монетку, какова вероятность того, что вторая золотая при условии что вытащенная золотая" и "выбрали сундук, вытащили монетку, она оказалась золотой, какова вероятность того, что вторая золотая"?
    И если разница есть, то в чем частотный смысл первой и второй вероятностей? (частотный смысл вероятности - это отношение числа успехов к числу каких-то испытаний; как устроены испытания и что является успехом?)

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #25 : 01 Август 2017, 17:44 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Да, так.
    Теперь вопрос: в чем разница между "выбрали сундук, вытащили монетку, какова вероятность того, что вторая золотая при условии что вытащенная золотая" и "выбрали сундук, вытащили монетку, она оказалась золотой, какова вероятность того, что вторая золотая"?
    И если разница есть, то в чем частотный смысл первой и второй вероятностей? (частотный смысл вероятности - это отношение числа успехов к числу каких-то испытаний; как устроены испытания и что является успехом?)

    Спасибо, я понял свою ошибку. Я не учел тот факт, что из сундука с одной золотой монетой можно было вытащить серебряную, так что мой подсчет условных вероятностей неправилен))

    P.S.
    Респект за проявленное терпение=)

    kuuff

    • Старожил
    • *****
    • Сообщений: 2 133
    • +220/-52
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #26 : 01 Август 2017, 21:37 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Я понял, что решение Философа не устроило кворум?

    Я могу объяснить то же самое иначе.

    Чтобы посчитать вероятность вынуть вторую золотую монету, нам надо идти через формулу:

    P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук).

    Если формула кажется сложной, то её легко объяснить. Если бы  мы знали, что мы выбрали первый сундук, то мы легко бы сосчитали вероятность вытащить оттуда монетку. Эту вероятность я обозначил как P(2=золото|первый сундук) -- это условная вероятность, то есть вероятность вытащить вторую золотую монету, если выбранный сундук первый. Но есть одно "но": мы не знаем какой сундук нам достался, поэтому эту условную вероятность надо отмасштабировать, помножить на вероятность того, что нам достался первый сундук. Таким образом получается первое слагаемое. Оставшиеся два получаются точно таким же образом, только номер сундука меняется.

    Условные вероятности там мы знаем -- они легко считаются, соответственно: 1, 0, 0. Остаётся лишь сообразить, каковы вероятности того, что мы выбрали тот или иной сундук. Но тут всё просто. Точнее не совсем просто, есть один нюанс. Все вот эти вероятности вида P(N сундук), на самом деле являются _условными_ вероятностями и их правильнее было бы записывать как P(N сундук|1=золото). Я не стал писать так в формулу выше, чтобы совсем не загромождать её. Правильнее бы она выглядела так:

    P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук|1=золото) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук|1=золото) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук|1=золото).

    Ну так вот. Как выяснить эти вероятности? Второй сундук не мог быть выбран: мы вытащили золотую монету, а во втором сундуке нет ни одной золотой монеты. То есть P(второй сундук|1=золото) = 0. Значит был выбран либо первый, либо третий. Можно навскидку сообразить, что полная вероятность поделена между ними в соотношении 2:1 (или, точнее, 2:0:1, если учитывать все сундуки), а значит P(первый сундук|1=золото) = 2/3, P(второй сундук|1=золото) = 1/3.

    Можно вместо байесианских рассуждений "навскидку" полноценно использовать формулу Байеса: мы знаем априорную вероятность выбора сундука N, мы знаем условную вероятность того, что будет вынута золотая монета при условии выбора N-ного сундука, значит мы можем посчитать апостериорную вероятность. Причём мы можем считать эту вероятность игнорируя существование второго сундука или учитывая его -- неважно, результат должен получиться одинаковым, если мы всё делаем правильно. Я не буду игнорировать второй сундук, вы можете проделать то же самое, сделав вид, что в условии не было второго сундука, и проверить таким образом мои рассуждения.

    P(первый сундук|1=золото) = P(1=золото|первый сундук)*P(первый сундук)/P(1=золото) = (1*1/3)/(1/2) = 2/3.
    P(второй сундук|1=золото) = P(1=золото|второй сундук)*P(второй сундук)/P(1=золото) = (1/2*1/3)/(1/2) = 1/3.
    P(третий сундук|1=золото) = P(1=золото|третий сундук)*P(третий сундук)/P(1=золото) = (0*1/3)/(1/2) = 0.

    На всякий случай я отмечу, что P(1=золото) вообще считается как сумма слагаемых вида P(N сундук)*P(1=золото|N сундук), для всех N от 1 до 3. То есть мы должны посчитать вероятность того, что мы, рандомно выбрав сундук и вынув рандомную монету оттуда, вытащили именно золотую монету и именно из N-ного сундука. А затем просуммировать эти вероятности. Получится: 1*1/3+1/2*1/3+0*1/3 = 1/2.

    Так вот, возвращаясь обратно к той формуле:

    P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук|1=золото) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук|1=золото) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук|1=золото).

    У нас теперь есть все числа, их осталось подставить и посмотреть, что получится:
    P(2=золото) = 1*2/3 + 0*1/3 + 0*0 = 2/3.

    Теперь вопрос: в чем разница между "выбрали сундук, вытащили монетку, какова вероятность того, что вторая золотая при условии что вытащенная золотая" и "выбрали сундук, вытащили монетку, она оказалась золотой, какова вероятность того, что вторая золотая"?
    И в чём же интересно? Мне кажется, что если теория вероятностей, которой мы пользуемся, будет присваивать разные вероятности в зависимости от такой перестановки слов, то она будет противоречивой теорией, и таким образом, совершенно бесполезной.
    И если разница есть, то в чем частотный смысл первой и второй вероятностей? (частотный смысл вероятности - это отношение числа успехов к числу каких-то испытаний; как устроены испытания и что является успехом?)
    И в чём же интересно?

    Я вот прикидываю в голове, как бы я писал программки моделирующие ту и иную ситуацию, и каждый раз выходит что-то типа:

    количество_золотых = 0;
    количество_траев = 0;
    do_a_lot_of_times {
        первый_сундук.монеты = {золотая, золотая};
        второй_сундук.монеты = {серебряная, серебряная};
        третий_сундук.монеты = {золотая, серебряная};
        coin = get_random_element(первый_сундук, второй_сундук, третий_сундук).get_random_coin();
        if coin == золотая {
            количество_золотых += 1;
        }
        количество_траев += 1;
    }
    print количество_золотых/количество_траев;

    Такая модель соответствует первой вашей формулировке или второй? Как должна отличаться эта модель для другой формулировки?

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #27 : 02 Август 2017, 01:09 »
  • (+)0
  • (−)0
  • kuuf, вы к шапочному разбору пришли. Мой вопрос был адресован mcquadrat, который ошибся и в результате сделал утверждения, из которых в совокупности вытекало, что приведенные варианты дают разную задачу. Ошибку уже нашли, вопрос неактуален.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #28 : 02 Август 2017, 10:46 »
  • (+)0
  • (−)0
  • kuuff, я больше скажу, "решение Философа" на самом деле решение mihaild'a шестилетней давности :)

    Scondo

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 321
    • +35/-4
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #29 : 02 Август 2017, 11:07 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Для тех, кто очень быстро решил, другая популярная вариация:

    У мистера Джонса два ребёнка. Старший из них - мальчик. Какова вероятность, что второй - тоже мальчик.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #30 : 02 Август 2017, 13:36 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Я давал выше ссылку на этот вариант

    nar

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 312
    • +26/-27
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #31 : 02 Август 2017, 14:44 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Казалось бы, задача построена максимально конкретно и недвусмысленно (в точности описан порядок действий, приведший к ситуации), но нет, нашлось место для двух страниц обсуждения.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #32 : 02 Август 2017, 14:47 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Две страницы ещё мало))
    Там вон выше ссылочка на Хабр, вот уж где развернулась эпическая баталия :D

    Rainis

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 1
    • +0/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #33 : 02 Август 2017, 21:08 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Цитировать
    У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по две монетки. В первом — две золотых. Во втором — две серебрянных. В третьем — одна золотая и одна серебряная.
    Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?
    Это одна из форм небезызвестного парадокса Монти Холла.
    Причем здесь Монти Холл? Не могу уловить связь
    « Последнее редактирование: 02 Август 2017, 21:43 от Rainis »

    Scondo

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 321
    • +35/-4
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #34 : 03 Август 2017, 00:19 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Я давал выше ссылку на этот вариант
    Ага, но я решил его повторить специально для тех, кто быстро решил изначальную задачу (и, уверенный в своих силах, не ходил по ссылкам). С прицелом на то, что они могли не считать вероятности, а вытянуть из памяти карточку "Монти-Холл".

    valergrad

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 487
    • +143/-21
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #35 : 03 Август 2017, 01:58 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Цитировать
    У мистера Джонса два ребёнка. Старший из них - мальчик. Какова вероятность, что второй - тоже мальчик.

    В этом случае ответ очевиден - 1/2. Существует 4 равновероятных варианта семей, условию удовлетворяет только 2 из них, второй мальчик - только в одном из этих двух, так что условная вероятность равна 1/2.
    Гораздо более интересен такой вопрос:

    Цитировать
    У мистера Джонса два ребёнка. Хотя бы один из них - мальчик. Какова вероятность, что второй - тоже мальчик?

    Здесь правильный ответ если посчитать вероятности: 1/3. Вроде бы. Ну, если разложить по терверу - 3 возможных варианта, только один из этих трех нам подходит. Замечу, люди незнакомые с тервером обычно отвечают: 1/2.

    Я в свое время размышлял над этой задачей и, имхо, эта задача хороший пример разницы между "игровой вероятностью" и "вероятностью реального мира". Дело в том, что ответ неожиданно зависит от того, каким образом мы узнали, что кто-то из них - мальчик.

    1. Джонс говорит нам "У меня двое детей. Старший из них - мальчик. ". Ответ: 1/2.
    2. Джонс говорит нам "У меня двое детей. Младший из них - мальчик.". Ответ: 1/2.
    3. Джонс говорит нам "У меня двое детей. Хотя бы один из них мальчик.". Ответ: 1/3.
    4. Джонс говорит нам "У меня двое детей. Вон, кстати идет мой ребенок!". И мы видим идущего мальчика.
    Казалось бы случай аналогичен случаю 3) - мы знаем что у Джонса двое детей, и мы знаем что хотя бы один из них мальчик.  Тем не менее здесь ответ: ближе к 1/2 ( я много над этим размышлял, и считаю что здесь именно такой ответ, но если кто-то приведет сильные аргументы в пользу 1/3 или другого числа - я выслушаю ).

    Чем отличаются 3 или 4? Казалось бы имеем одну и ту же информацию, но важно то, что мы получили ее разным способом. Грубо говоря "рандомизация" была сделана другим способом.
    Если перенести это в математическую модель, то в одном случае мы как будто бы делаем запрос к базе данных "Определи является ли количество мальчиков у Джонса числом > 0", а в другом случае мы натыкаемся на строчку в этой же самой базе данных в которой есть запись для сына Джонса и пол "М". Оттого и вероятность разная. В реальном мире наткнуться на такую строчку с мальчиком ( или встретить мальчика ) более вероятно, если их больше одного что каким-то образом выравнивает эту вероятность, и единственный способ получить вероятность 1/3 - это задавать странные, выхолощенные вопросы ( или запросы к БД ) вроде "Хотя бы один из ваших детей мальчик, да-нет?".

    Если же еще задуматься, то мы понимаем, что "реальная" вероятность на самом деле должна учитывать вероятность того, что Джонс сказал определенные слова имея определенный набор детей. Скажем, если бы у него было два мальчика - стал бы он говорить "хотя бы один из них мальчик"? Может он сказал бы в этом случае "у меня два мальчика" ? Обычный метод - если рассмотреть  параллельные вселенные в которых отличается все, кроме события для которых мы посчитать вероятности в данном случае не годится. Событие "рождение девочки 15 минут назад" настолько сильно изменит жизнь Джонса по сравнению с событием "рождение мальчика 15 лет назад", что вероятно он будет через 15 лет разговаривать в другом месте, с другими людьми, другими фразами - и нельзя будет посчитать эту вероятность опять же.

    Scondo

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 321
    • +35/-4
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #36 : 03 Август 2017, 09:20 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Если перенести это в математическую модель, то в одном случае мы как будто бы делаем запрос к базе данных "Определи является ли количество мальчиков у Джонса числом > 0", а в другом случае мы натыкаемся на строчку в этой же самой базе данных в которой есть запись для сына Джонса и пол "М". Оттого и вероятность разная.
    Программистский факт: если вы спросите базу данных "является ли количество мальчиков у Джонса числом > 0" - она опросит все строки в процессе подсчёта количества. Существует более оптимальная формулировка "существуют ли у Джонса дети-мальчики" (ключевое слово EXISTS) - в этом случае база вернёт "да" когда наткнётся на первого мальчика или "нет" если проверит все строки не обнаружив ни одного.

    К чему я это? К тому, что в постановке задачи 1, 2 и 4 проверяется всегда только один ребёнок. Не имея информации о влиянии способа этого выбора мы можем предположить его равновероятным, делая не существенным различие младший/старший/идёт по улице. В 3 же варианте некто (мистер Джонс или его сосед, которого мы опрашиваем) проверив, что один из детей девочка может проверить второго ребёнка и выяснить, что тот мальчик. Это и смещает вероятность двух мальчиков в пользу "нет".

    Вот то же самое с сундуками:
    У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по две монетки. В первом — две золотых. Во втором — две серебрянных. В третьем — одна золотая и одна серебрянная.

    Я выбрал сундук случайным образом и узнал, что там есть по крайней мере одна золотая монета. Какова вероятность того, что в этом сундуке две золотых монеты?

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #37 : 03 Август 2017, 10:33 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Причем здесь Монти Холл? Не могу уловить связь

    Формулировка "одна из форм" с моей стороны была неточной.

    Математически это другой парадокс, но на мой взгляд он очень близок данному по многим факторам.

    Впрочем, куда больше моего понимающий в математике mihaild со мной тоже не согласился :)

    nar

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 312
    • +26/-27
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #38 : 03 Август 2017, 13:02 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Причем здесь Монти Холл? Не могу уловить связь
    Всё верно, ни при чём

    Добавлено 03 Август 2017, 13:09:
    Я в свое время размышлял над этой задачей и, имхо, эта задача хороший пример разницы между "игровой вероятностью" и "вероятностью реального мира". Дело в том, что ответ неожиданно зависит от того, каким образом мы узнали, что кто-то из них - мальчик.
    На этом форуме как раз было такое обсуждение как раз по такой задаче, где-то в последний год, можно было просто ссылку туда дать :)
    Задача с мальчиками это как раз тот пример, на фоне которого задача этой темы смотрится очень выгодно в плане чёткости и недвусмысленности условия.
    Предлагаю отвлечься от уже разобранного и решить две (одну совсем простую, другую чуть сложнее).
    1. Есть два ребёнка, один из них мальчик. Какая вероятность, что старший из них мальчик?
    2. Есть два ребёнка, старший из них мальчик. Какая вероятность, что хотя бы один из них мальчик?

    В случае неоднозначного условия требуется выявить и разобрать все варианты его уточнения до корректного однозначного и к каждому указать ответ.

    Scondo

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 321
    • +35/-4
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #39 : 03 Август 2017, 14:30 »
  • (+)0
  • (−)0
  • 2. Есть два ребёнка, старший из них мальчик. Какая вероятность, что хотя бы один из них мальчик?
    Эмм... 100% или что-то не так сформулировано???

    iren_doroshenko

    • Постоялец
    • ***
    • Сообщений: 235
    • +24/-67
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #40 : 03 Август 2017, 17:25 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Эмм... 100% или что-то не так сформулировано???
    Спасибо, что выказали мое удивоение.

    1. Есть два ребёнка, один из них мальчик. Какая вероятность, что старший из них мальчик?
    Один к четырем? В чем подвох то?

    valergrad

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 487
    • +143/-21
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #41 : 04 Август 2017, 05:15 »
  • (+)0
  • (−)0
  • К чему я это? К тому, что в постановке задачи 1, 2 и 4 проверяется всегда только один ребёнок. Не имея информации о влиянии способа этого выбора мы можем предположить его равновероятным, делая не существенным различие младший/старший/идёт по улице. В 3 же варианте некто (мистер Джонс или его сосед, которого мы опрашиваем) проверив, что один из детей девочка может проверить второго ребёнка и выяснить, что тот мальчик. Это и смещает вероятность двух мальчиков в пользу "нет".

    Верно. Тем не менее в 3-м и 4-м случае у нас одна и та же информация которую мы получили - то, что у Джонса два сына и что по крайней мере один из них мальчик. И только лишь способ  получения этой информации резко меняет вероятность с 1/3 до 1/2. Это... заставляет меня задуматься о том, что частенько при оценке вероятностей при наличии информации я о таких вещах как "способ получения информации" не задумываюсь, и соответственно сильно промахиваюсь в оценках. А вы?

    Буквально тут же nar предлагает две задачи, очевидно не прочитав и не продумав мой коммент - аяяяй.

    Цитировать
    1. Есть два ребёнка, один из них мальчик. Какая вероятность, что старший из них мальчик?
    2. Есть два ребёнка, старший из них мальчик. Какая вероятность, что хотя бы один из них мальчик?

    Я только что показал что вероятность в первой задаче зависит от того, каким образом образом мы узнали что "один из них мальчик". Если мы это узнали "запросом к БД" или похожим способом - вероятность одна. Если мы узнали это увидев одного из этих детей и он оказался мальчиком - совсем другая.  Важно не путать это.
    Во второй же задаче ответ очевидно 100%.


    Scondo

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 321
    • +35/-4
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #42 : 04 Август 2017, 10:57 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Верно. Тем не менее в 3-м и 4-м случае у нас одна и та же информация которую мы получили - то, что у Джонса два сына и что по крайней мере один из них мальчик.
    На самом деле нет. Информация различается: в 3-м случае "один из них мальчик", в 4-м: "первый попавшийся из них мальчик".
    Второе утверждение более сильное чем первое (хотя первое и требует больше измерений, забавно, да?).

    Это как разница между тем, что я сказал, что у меня найдётся пятитысячная купюра и тем, что я уронил пятитысячную купюру.

    nar

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 312
    • +26/-27
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #43 : 04 Август 2017, 15:32 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Буквально тут же nar предлагает две задачи, очевидно не прочитав и не продумав мой коммент - аяяяй.
    Вовсе нет :)
    Вот та старая тема, о которой я говорил и моё сообщение в ней http://lesswrong.ru/forum/index.php?topic=1003.msg30393#msg30393

    Задача чуть другая, но суть (зависимость ответа от способа узнавания условия) та же.
    А мою задачу, которую я предложил тут, походу никто даже не дочитал до конца :( Там уточнено на этот счёт.

    iren_doroshenko

    • Постоялец
    • ***
    • Сообщений: 235
    • +24/-67
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #44 : 04 Август 2017, 15:48 »
  • (+)0
  • (−)0
  • А мою задачу, которую я предложил тут, походу никто даже не дочитал до конца :( Там уточнено на этот счёт.
    Эмм, неоднозначность в том что интерсексуальность не учли? А то несправедливо только варианты мальчик/мальчик учитывать.
    Старший мальчик из двух возможных пар: старший-девочка + младший-мальчик, и старший-мальчик + младший-девочка.

    TKOTS

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 4
    • +0/-1
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #45 : 01 Октябрь 2017, 12:33 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Ха, 2/3.

    Был уверен, что 1/2, пока не пересилил себя, не заткнулся и не посчитал.
    Спасибо, классная задачка.

    kuuff

    • Старожил
    • *****
    • Сообщений: 2 133
    • +220/-52
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #46 : 01 Октябрь 2017, 13:07 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Да, теорвер он вообще такой. Я бы вообще рекомендовал бы найти какой-нибудь задачик к курсу теорвера и порешать задачки оттуда. Ну, эта задача о сундуках, например, вполне возможна в задачнике, или что-нибудь схожее там по-любому появится. И только через решение задач можно выработать какую-то интуицию в теорвере.