Doomsday argument как слабое свидетельство конца света или мира - симуляции.

[kuuff]

Кстати говоря, вот о чём я подумал. Раньше здесь утверждали, что программе нужно давать ответ и знать вероятность, но в любой ситуации, где программа действительно станет использовать вероятность монеты для рассчётов, выгоднее просто выбрать одну из сторон наугад, дать ей 66% и дальше пользоваться своим ответом. Например, если после информации вам нужно сделать ставку на то сколько раз монета выпадет решкой в 100 бросках, то логично выбирать один из двух ответов: 33 выпадение, либо 66 выпадений. Какой именно - неизвестно, но это точно один из двух, а не 50 выпадений. Потому, что хотя ваша неопределённость ответа и равна 50%, никто не спрашивает о том, какой ответ вы дадите. Спрашивается, как будет падать монета и монета будет падать по одному из двух сценариев, каждый из которых является лучшим вариантом ответа, который вам доступен. Оценка 50% бесполезна и ничего не сообщает вам о монете. Всегда выгоднее давать одну из тех, что могут проявиться в реальной ситуации. Не будет ли честным признать, что мой ответ будет являться решением? Да, это неудобный ответ, который плохо формализуется и не обладает красивой общностью. Но это лучшая стратегия, та которая позволяет победить. Почему бы не признать, что вероятность в данном случае наиболее адекватно представима, не числом, но таблицей конкурирующих гипотез о вероятности? Тем более, что подобная таблица обобщает многие возмжные классические решения и обладает очевидным смыслом.

Вероятность выпадения орла -- 1/2. Смотрите, если орёл выпадает чаще, то он выпадет с вероятностью 2/3, если он выпадает реже, то он выпадет с вероятностью 1/3. Поскольку ситуации "орёл выпадает чаще" и "орёл выпадает реже" для нас равноценны, то каждая из них имеет вероятность 1/2. Считаем: 1/2*2/3+1/2*1/3=1/2.

Если же мы рассматриваем задачу с сотней подбрасываний, то... Ваше рассуждение неверно, даже если оно приводит к верному ответу. Стоит чутка изменить числа, и это же рассуждение приведёт к неверному ответу. Вы не учитываете вероятность угадать, выбрав неверный вариант. Орёл может выпадать чаще решки, или реже, обозначим первое как A, второе как не-A. Тогда P(орёл|A)=2/3, P(орёл|не-А)=1/3. Если мы дадим ответ k, где k от 0 до 100, то вероятность угадать будет равна (если я ничего не напутал): C^k₁₀₀ P(орёл|A)^k P(не-орёл|A)^100-k P(A) + C^k₁₀₀ P(орёл|не-A)^k P(не-орёл|не-A)^100-k P(не-A), выражение сложное, но это будет двугорбое распределение, которое будет иметь два локальных (и равных между собой) максимума при k=33 и k=67, между максимумами будет локальный минимум при k=50. Но если числа немного изменить... Если положить, что вероятность выпадения одной стороны 0.45, а другой 0.55, то выяснится, что выгоднее давать ответы k=49 или k=51, чем k=45 или k=55: вероятность угадать, дав ответ k=45, будет 0.04537013, а при ответе k=49 -- 0.0481615

[nar]

Вероятность выпадения орла -- 1/2. Смотрите, если орёл выпадает чаще, то он выпадет с вероятностью 2/3, если он выпадает реже, то он выпадет с вероятностью 1/3. Поскольку ситуации "орёл выпадает чаще" и "орёл выпадает реже" для нас равноценны, то каждая из них имеет вероятность 1/2. Считаем: 1/2*2/3+1/2*1/3=1/2.

Я об этом (только в общем случае а не на частном примере) писал в этой теме ещё страницу назад:

Усредняя все возможные исходы (монеты, гнутые в разные стороны и разный рандом при собственно броске), получаем 1/2.

Некоторые (desmod) почему-то не понимают, что в условиях отсутствия информации о гнутости монеты её гнутость сама становится случайной величиной с вероятностными исходами (причём распределение в отсутствие особых ограничений симметрично относительно середины). Как только этот факт осознан, сразу всё становится ясным и нормально считается с помощью того, что вы называете "частотным подходом".

[kuuff]

Некоторые (desmod) почему-то не понимают, что в условиях отсутствия информации о гнутости монеты её гнутость сама становится случайной величиной с вероятностными исходами (причём распределение в отсутствие особых ограничений симметрично относительно середины).

Я не могу говорить за desmond'а, но меня сбивали с толку рассуждения о гнутости. Как гнутость относится к вероятности выпадения орла или решки? Как-то относится но очень неочевидно, даже если я найду способ построить пространство всевозможных гнутостей, то неясно как это связать с вероятностями выпадения, и неочевидно, что это пространство покроет всё пространство гипотез. Ещё больше напрягает сама фраза про "усредняя, получаем 1/2". А в числах вы можете показать, как происходит это "усреднение"?

Есть два варианта: либо орёл выпадает чаще решки, либо решка чаще орла. Я их обозначил там через А и не-А. И вероятности этих событий равны 1/2 -- это субъективное решение, которое основано на том, что у нас нет информации о том, что какое-то из этих событий более вероятно. Мы ничего не усредняем, мы просто заявляем, что в силу отсутствия какой-либо информации мы будем считать эти события равновероятными. Полная вероятность равна 1, надо эту единицу поделить поровну между двумя событиями, таким образом получаем вероятность 1/2.

Все те ваши рассуждения, на самом деле, выполняют ровно одну функцию: они берут субъективное решение присвоить событию вероятность 1/2, и прячут это решение, погребая его под грудой слов. Решение точно так же остаётся субъективным, но это становится менее очевидно, потому что чтобы это показать, надо разгрести груду слов. Невозможно доказать, что А и не-А имеют равную вероятность в реальности. Максимум что можно сделать -- это найти сотню неравновероятных монет, и показать, что примерно половина из них выпадают чаще орлом, а другая половина чаще выпадает решкой. И всё равно можем ошибиться, может оказаться, что если мы выберем монеты в которых одна сторона выпадает чаще другой в два раза, то такой перекос случается а) крайне редко; б) в пользу орла.
У нас просто нет никакой информации о том, влияют ли (и если влияют то как) какие-то различия между аверсом и реверсом на частоту выпадений. И поэтому мы присваиваем равные вероятности. Мы ничего не усредняем, нам нечего усреднять, у нас нет никакой выборки по которой можно было бы считать среднее. Мы просто присваиваем равные вероятности.

[LswAgnostic]

Усредняя все возможные исходы (монеты, гнутые в разные стороны и разный рандом при собственно броске), получаем 1/2.

Это только при допущении, что пространство всех возможных вариантов равномерно распределено.
Но в реальности - это не обязательно так. Монета вполне может гнуться/стираться и т.д. в одну сторону больше, чем в другую. Тогда вероятность по всем возможным вариантам будет давать, например, 45/55.

ps
При таком подходе считаются суммы бесконечных рядов. Суммирование бесконечных множеств дает разные числа, взависимости от используемого способа.

[desmod]

Вас понесло куда-то в сторону.

Я лишь пытаюсь объяснить, что использование термодинамического подхода никак нам не поможет в понимании смысла байесовской вероятности. (К тому же, на мой взгляд, он гораздо ограниченнее байесовского.)

если взять шенноновское определение информации, но заменить там частотные вероятности байесианскими, то как это отразится на значении понятия "информация"?

Сам инструментарий, используемый в рамках данного подхода, рассчитан на знаки, а не на символы. Грубо говоря, если мы имеем дело исключительно с комбинациями единиц и нулей, то как их не оценивай, только на основании подобных сведений мы никогда не узнаем о том, что же на самом деле означают эти комбинации - гениальное озарение или бред сумасшедшего.

Здесь же примеры задач, которые наоборот катастрофически обеднены информацией.

Для чего они и нужны. Это своего рода крэш-тест, позволяющий определить границы применимости используемых в этих задачах понятий.

А в числах вы можете показать, как происходит это "усреднение"?

Я уже объяснял nar'у, что мы можем, разумеется, подсчитать мат. ожидание некоей случайной величины, которое при определенных допущениях будет равно 1/2. Однако мат. ожидание по своему смыслу отнюдь не тождественно вероятности конкретного исхода.

Это только при допущении, что пространство всех возможных вариантов равномерно распределено.

В принципе, мы можем взять такое допущение в качестве исходной гипотезы. Тогда ответ 1/2 будет означать степень нашей уверенности в выпадении орла при условии истинности этой гипотезы. Однако проблема в том, что подобный ответ выдается в качестве универсального (т.е. по сути объективного).

[nar]

Я не могу говорить за desmond'а, но меня сбивали с толку рассуждения о гнутости. Как гнутость относится к вероятности выпадения орла или решки?

Это было условное обозначение для "нечестной" монеты. Можно называть как угодно, не в этом суть.

Мы ничего не усредняем, мы просто заявляем, что в силу отсутствия какой-либо информации мы будем считать эти события равновероятными. Полная вероятность равна 1, надо эту единицу поделить поровну между двумя событиями, таким образом получаем вероятность 1/2.

Все те ваши рассуждения, на самом деле, выполняют ровно одну функцию: они берут субъективное решение присвоить событию вероятность 1/2, и прячут это решение, погребая его под грудой слов.

По-моему, наоборот. Понимая, что "чаще орел" и "чаще решка" в первом приближении (т.е. без дополнительных условий) равноправны, мы пропускаем этап строгих бесконечных расчётов, но он подразумевается. Так как любое суммирование по орлам можно, не заменяя чисел (у нас нет ни одного известного источника ассимметрии), заменить суммированием по решкам, то результаты этих суммирований должны быть равны. Так как полная вероятность равна 1, получается по 1/2 каждому.

Невозможно доказать, что А и не-А имеют равную вероятность в реальности.

Считаем не "вероятность в реальности" (естественно, мы не знаем что есть в реальности и только пытаемся вероятностно оценить) а вероятность того, что реальность склонена в стороны орла/решки.

Максимум что можно сделать -- это найти сотню неравновероятных монет, и показать, что примерно половина из них выпадают чаще орлом, а другая половина чаще выпадает решкой.

Можно, это уже будет эксперимент для проверки гипотезы, но думаю там всё немного сложнее.

А в числах вы можете показать, как происходит это "усреднение"?

При таком подходе считаются суммы бесконечных рядов. Суммирование бесконечных множеств дает разные числа, взависимости от используемого способа.

Да, тут бесконечные суммы, но ответ меняется только для расходящихся или условно сходящихся рядов. Если ряд безусловно сходится, то ответ не меняется. Вообще это отдельная тема.

Монета вполне может гнуться/стираться и т.д. в одну сторону больше, чем в другую.

А это уже дополнительные условия. Если их вписать в задачу (что-то конкретное) то пространство событий станет другим (по объемам) и ответ естественно станет не 1/2.

[LswAgnostic]

Да, тут бесконечные суммы, но ответ меняется только для расходящихся или условно сходящихся рядов. Если ряд безусловно сходится, то ответ не меняется. Вообще это отдельная тема.

1. В данном случае, сумма бесконечного множества бесконечных множеств. Соответственно, от способа разбиения на бесконечные множества будут получаться разные результаты. Например, у Рамануджана получилось, что 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12.

2. Допустим, известно, что монеты завода страны Z после года обращения начинают выпадать с вероятностью 47/53 в пользу орла.
Какой вес этому факту поставить в формуле суммирования по всем вариантам по сравнению с другими вариантами, такой вклад и будет.

[nar]

1. В данном случае, сумма бесконечного множества бесконечных множеств. Соответственно, от способа разбиения на бесконечные множества будут получаться разные результаты. Например, у Рамануджана получилось, что 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12.

К чему тут это? Во-первых, это расходящийся ряд, во-вторых вывод данного соотношения с множествами никак не связан. Суммы вероятностей ограничены диапазоном от [0;1] и все их слагаемые неотрицательны. Ряд с такими свойствами не может быть ни расходящимся, ни условно сходящимся, а значит перестановки слагаемых на ответ не влияют.

2. Допустим, известно, что монеты завода страны Z после года обращения начинают выпадать с вероятностью 47/53 в пользу орла.
Какой вес этому факту поставить в формуле суммирования по всем вариантам по сравнению с другими вариантами, такой вклад и будет.

Да, однако это выходят за рамки изначальной задачи. Я и не отрицал нигде, что при добавлении доп. условий начнутся сложности.

[anagor1]

Какую партию не учреждай - получается КПСС.
Какую тему про вероятность не начинай - она сводится к бросанию монеты.

[desmod]

На примере задачи с той же монетой хорошо видна суть парадокса. Ответ 1/2 неявно предполагает, что вероятность выпадения орла рассматривается как непрерывная случайная величина, сосредоточенная на интервале [0, 1]. Иными словами, все допустимые значения параметров монеты считаются равновероятными. Но с тем же успехом можно было сделать и другое априорное предположение. Например, что монета падает орлом с вероятностью 1/3. Установить, какое из предположений верное, способен только эксперимент в виде достаточно большой серии бросков.

Почему же предположение о равномерном априорном распределении вероятности кажется настолько очевидным, что принимается за универсальное объяснение? Ведь байесовская вероятность по определению субъективна и уже по этой причине позволяет делать в данном случае абсолютно любые предположения!

Очевидно, все дело в нашей подсознательной установке, согласно которой мы живем в "симметричной" Вселенной. Но отсюда следует, что наша субъективность оценок только кажущаяся, тогда как на более глубоком уровне проступают вполне объективные закономерности.

[anagor1]

Установить, какое из предположений верное, способен только эксперимент в виде достаточно большой серии бросков.

Что значит "верное"? Значит, совпадающее с некоторым "истинным"? То есть, неявно предполагается, что у монеты есть некое имманентное свойство, называемое "вероятностью", которое проявляется при ее бросании. Но все, что мы знаем о монете, мы знаем из своих ощущений. Она дана нам исключительно в ощущениях, и только их мы вправе оценивать. У нас нет "монеты как таковой", поймите, нет "монеты на самом деле". У нас есть только наше представление о ней. Нам не с чем сравнивать, чтобы судить о том, что верно, а что нет. Или, на вероятностном языке, мы ни одной гипотезе никогда не сможет приписать вероятность "1" [верно!]. Достаточно большая серия бросков всего лишь даст нам дополнительную информацию о монете, которая позволить переоценить наши представления.
А какую цифру присвоить своим первоначальным, априорным ощущениям - личное дело каждого. Я вот считаю так - и я объясняю, почему я так считаю. Это вовсе не "универсальное объяснение". Это мое объяснение моей оценки. А как вы оцените свою неуверенность - это исключительно ваше дело. Хотите - соглашайтесь со мной, не хотите - не соглашайтесь и присваивайте 1/3, кто ж против. Это ваша, лично ваша субъективная оценка.
И я совершенно не вижу тут "глубокий уровень", на котором "проступают объективные закономерности".

[Skywrath]

Стоит чутка изменить числа, и это же рассуждение приведёт к неверному ответу.

Это работает в обе стороны, если вы измените числа в новой задаче, то они вернутся к старой и получится, что ваш метод решения оказывается неверным по тем же самым критериям, что и мой. В защиту моего метода решения имеется аргумент, который естественным образом возникает при рассмотрении класса задач об амбивалентной монете в целом. Представьте, что вероятность выпадения одной из сторон на монете произвольно выбирается из интервала от 0% до 100%. Существует некий достаточно узкий интервал, где ваше решение работает лучше моего, но понятно, что он будет меньше. Всё-таки в гораздо более радикальных случаях, ваших 50 выпадений можно вообще не дождаться. Верно?! Может быть и нет, кстати говоря. Я не рассчитывал при какой вероятности оба решения оказываются эквиваленты. Очень навряд ли, но может быть именно при 25% на одну сторону. В любом случае, данный анализ позволяет сделать важное неформальное возражение о смысле примера. Мы видим, что ваш метод работает в ситуациях, когда можно пренебречь нечестностью монеты, мой метод работает в ситуациях, когда нечестность является важной частью задачи. Но, если подумать, то какой задачей является наша задача? Конечно же, задачей второго типа! Нам прямо говорят, что монета нечестная, значит нечестность здесь это не что-то, чем мы можем пренебречь, а нечто концептуально важное в данном примере. Кажется неправильным решать задачу методом, который закрывает глаза на единственную информацию, которая предоставляется по её условию и на самом деле, данное обстоятельство заставляет сомневаться было ли решение вообще дано. Грубо говоря, достаточно просто злоупотреблять подобной стратегией. У нас есть корзина с шарами, шесть синих и четыре сотни чёрных, требуется найти вероятность достать синий шар. Я могу спокойно дать 50% по логике, которая ссылается на отсутствие информации про то могут ли шары менять свои цвета, менять свои формы, покидать корзину или попадать в неё. Разумеется, с монетой и во многих других вариантах отрицание информированности не такое явное, но можно ли быть уверенным в том, что её действительно нет? Думаю, вам известно, как тяжело обосновывается недостаточность в разных задачах. И сейчас мы делаем это обоснование даже не формально, но просто на честном слове.

[desmod]

Что значит "верное"? Значит, совпадающее с некоторым "истинным"?

Я отнюдь не случайно написал "верное", а не "истинное". Ведь речь идет о проверке гипотез, а гипотеза в рамках конкретной ее проверки может оказаться либо верной, либо неверной. Причем из того факта, что конкретный эксперимент данную гипотезу подтвердил, еще не следует, что ее подтвердит более точный эксперимент. Более того, установление "абсолютной истины" вообще не в компетенции научного (экспериментального) метода.

[kuuff]

Это работает в обе стороны, если вы измените числа в новой задаче, то они вернутся к старой и получится, что ваш метод решения оказывается неверным по тем же самым критериям, что и мой.

Мой метод работает и на тех, и на этих числах. Он работает для одного подбрасывания и для 100 подбрасываний.
Если это непонятно, я поясню:
Мы ищем P(X), для этого мы (не задумываясь о том, что такое X) расписываем по формуле: P(X)=P(X|A)*P(A)+P(X|не-A)*P(не-A). Поскольку A и не-А являются полной группой событий, то это равенство верно. А после этого мы начинаем думать о том, что такое P(X|A) и P(X|не-A), в случае одного подбрасывания -- это вероятность получить орла если вероятность равна, соответственно, 2/3 и 1/3. В случае 100 подбрасываний, приходится вытащить из широких штанин формулу Бернулли, позволяющую высчитать вероятность получить ровно k орлов при n подбрасываниях, если вероятность орла p, а вероятность решки q: C_n^k*p^k*q^100-k. Обратите внимание: формулу Бернулли можно использовать и в случае одного подбрасывания, и там получатся те же самые вероятности.
На самом деле, нас сейчас не туда несёт. Всё что я хотел продемонстрировать этой задачкой -- это то, что у частотной вероятности большие проблемы с тем, чтобы расписать эту задачу по формуле полной вероятности, потому что моментально выходит, что P(X)=1/2, а задача так построена, чтобы по условию P(X) было бы не равно 1/2: по условию P(X) равно либо 1/3, либо 2/3 (в случае исходной формулировки с одним подбрасыванием). И если можно поменять числа в задаче так, чтобы значения совпали, то это нам показывает, что некоторые задачи частотная теория вероятностей может успешно решить, но мы это и так знаем. Мы намеренно строим 1 (прописью один) пример, показывающий как частотная теория вероятностей заваливается на формальных нюансах, которые прямо вытекают из сущности вероятности, которая была заявлена объективной.
Это знаете, как, например, если есть велика теорема Ферма, то для того, чтобы её опровергнуть нам достаточно привести одну тройку целых чисел, которые удовлетворят равенству теоремы. А вот для того, чтобы доказать теорему, надо показать что любая тройка целых чисел не удовлетворит равенству. Опровергать проще, поэтому математики читерят подчастую и доказывают теоремы "от противного": опровергают утверждение, приходят к противоречию и заявляют, что утверждение истинно. Я же здесь приводя пример задачки на теорвер именно опровергаю. Я показываю тот один пример, на котором частотная вероятность буксует.

[Quilfe]

Мне кажется, в этой ситуации есть 2 основных ловушки.
1. Субъективность/объективность вероятности. "Субъективность" означает не то, что мы можем от балды нарисовать любое число и что вероятность определяется каким-то святым духом, а что это не свойство, присущее самой изучаемой системе, а некая функция от информации, известной некоему субъекту. И в идеале это вполне определенная функция. На практике мы не знаем, как ее точно считать, как перевести состояние мозга в число - мы вообще не имеем свободного доступа к своему состоянию мозга, но определенную аппроксимацию сделать можно. В идеале вероятность субъективна относительна монетки, но объективна относительно информации.
2. Если предположить, что монетка не имеет памяти, то у нее есть некая объективная частота выпадания орла (или у системы бросающий + монетка, скажем). И это не то же, что вероятность выпадения орла. С байесовской точки зрения, эта объективная частота - некая неизвестная величина, и мы имеем в голове распределение этой величины. Каждый бросок это распределение в соответствии с теоремой Байеса для непрерывно распределенных величин корректирует. И "вероятность выпадения орла" следующим броском это матожидание этой величины. Например, если априорное распределение было равномерным (что вряд ли, конечно), то после n бросков, из которых было k орлов, байесовская вероятность получить орла равна (k-1)/(n-2) (доказательство тут не буду писать, у Джейнса этот пример есть, хотя не помню, было ли там доказательство, но доказывал сам).

"Байесианцы" называют вероятностью именно это "субъективное" знание, а не частоту. Проблема в том, что в явном виде у нас нет априорного распределения, и приходится его достраивать из неких общих соображений. Например, если 100% известно, что монетка симметрична, то у нас 100% вероятности сконцентрировано на том, что частота 0,5, и 0 на остальном, то даже если мы пронаблюдаем 1000 орлов и 0 решек, мы должны будем считать, что монета симметрична и вероятность следующего орла 0,5. Если мы не знаем точно, то априорное распределение будет сначала расти, потом падать. Если мы знаем, что монета несимметрична, то это будет что-то с двумя пиками слева и справа от 0,5 и проколотое посередине. Обычно нет причин, чтобы априорное распределение было асимметричным, так что матожидание частоты (до бросков) всегда 0,5.

Если априорное распределение будет достаточно равномерным (не буквально равномерным, но дающим плотность, ограниченную снизу везде не нулем), то при длинной серии бросков наша субъективная вероятность будет стремиться к k/n независимо от того, что именно это за распределение, и можно аппроксимировать наше байесианство, просто поделив число орлов на число бросков. Но это именно аппроксимация. Нельзя сказать "Мы не знаем априорное распределение и в этом проблема байесианства", иначе у нас возникнет проблема, когда мы сделаем два броска и увидим два орла. Не 100% же вероятность орла? Мы не можем просто проигнорировать часть задачи потому, что не знаем ответ. И мы не должны путать вероятность (субъективную) и частоту (объективную, но неизвестную). Хотя частоты, будь они известны, разумеется, подставляемы как вероятности - но они неизвестны и с таким же успехом можно подставлять TRUE и FALSE. По отношению к задачам вроде монетки байесовский подход расширяет частотный примерно в том же духе, в каком частотный расширяет бинарную логику.