Задача о сундуках

[Воробышёк]

Старая задачка. Проверим, насколько посетители этого форума могут в теорвер. 
   

У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по две монетки. В первом — две золотых. Во втором — две серебрянных. В третьем — одна золотая и одна серебрянная.

Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?

[mcquadrat]

По условию есть два сундука, из которых можно было бы с первого раза вытащить золотую. Из них только в одном лежит вторая золотая монета. Так что вероятность 1/2.

[mihaild]

По условию есть два сундука, из которых можно было бы с первого раза вытащить золотую. Из них только в одном лежит вторая золотая монета. Так что вероятность 1/2.

Правильно. А еще этому же равна вероятность встретить динозавра на Невском.

[fil0sof]

Это одна из форм небезызвестного парадокса Монти Холла.

Если ответ "1\2" кажется вам верным, попробуйте немного изменить условие задачи:

У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по десять монеток. В первом — все золотые. Во втором — все серебряные. В третьем — одна золотая и девять серебряных.

Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что следующая монетка, которую я вытащу из этого сундука, — тоже золотая?

1\2 уже не кажется таким уж верным ответом, не так ли?

[mcquadrat]

В последнем случае вероятность тоже равна 1/2
Апеллирую к обычным правилам подсчета вероятностей.

[fil0sof]

Тогда я предлагаю вам сыграть в эту игру на деньги.

Напишем код, имитирующий ситуацию с тремя сундуками по 10 монет в каждой.

Я поставлю свои 500 рублей против ваших 100 на каждой итерации — если вы верите, что вероятность 1\2, для вас эта игра на дистанции астрономически выгодная.

Сыграем?

[Al1]

Ставить минусы за каждую попытку ответа - отличный способ помочь людям разобраться в ситуации. Очень рациональный.

[mcquadrat]

Господин Философ! Я не играю на деньги. Вместо этого предлагаю Вам, если Вы считаете что 1/2 неправильный ответ, привести правильный в виде конкретного числа, а также хотя бы схематически объяснить, как именно Вы его получили.

[fil0sof]

Правильный ответ на эту задачу составляет 2/3 и элементарно гуглится, это один из классических "вероятностных парадоксов". Вот одно из простых объяснений:

Выбрать сундук и достать монету можно 6 равновероятными способами:
-пкрвый сундук, первая монета из него (золото)
-первый сундук, вторая монета (золото)
-второй сундук, первая монета (серебро)
-второй сундук, вторая монета (серебро)
-третий сундук, первая монета (золото)
-третий сундук, вторая монета (серебро).
Из этих 6 вариантов, нас устраивают 3. Из этих трех мы в 2 вытащим золото, в 1 серебро.
Ответ: две трети.

Ответ также очень легко проверяется экспериментально при помощи всё тех же нескольких строк кода, можно посмотреть например вот здесь

[Al1]

Ситуация напоминает задачу с монетой.
Какова вероятность, что выпадет решка? 1/2
Мы кинули монету один раз. Выпала решка. Какова вероятность, что при броске (следующем, например) выпадет решка? 1/2
Мы кинули монету один раз. Выпала решка. Какова вероятность, два раза подряд выпадет решка? 1/4

При такой формулировке, как в задаче, не вполне ясно, нужно ли учитывать первоначальную вероятность вытащить золотую монету из трех сундуков с 2 монетами в каждом, или об этом нужно забыть и считать только 2 сундука с одной монетой (з или с) в каждом. Т.е. считать совокупную вероятность результата 2х выборов подряд, или только второго.

[fil0sof]

Это не так.

Из изначального условия вполне можно убрать третий сундук, ни рассуждения, ни ответ от этого не изменятся.

У нас есть два сундука, в каждом из которых лежит по две монетки. В первом — две золотых. Во втором — одна золотая и одна серебряная.

Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?

Ответ всё равно 2/3

Кроме уже упоминаемого Монти Холла, вот ещё парочка похожих парадоксов.

[Al1]

Философ, остается вопрос, не стоит забыть ли еще и про первую вытащенную монету, и что их вообще было по две в каждом сундуке (т.к. это аналог "два раза _подряд_" из примера). В указанных обстоятельствах, вероятность получить золото во втором выборе, если первый дал золото - да, 2/3 (подобно тому, как в случае с решкой вероятность выпасть дважды 1/4). Вероятность получить золото при случайном выборе из двух коробок с одной золотой или одной серебряной монетой - по прежнему, 1/2.

Формулировка цели задания неоднозначна, вот в чем затык.

[mcquadrat]

Выбрать сундук и достать монету можно 6 равновероятными способами:
-пкрвый сундук, первая монета из него (золото)
-первый сундук, вторая монета (золото)
-второй сундук, первая монета (серебро)
-второй сундук, вторая монета (серебро)
-третий сундук, первая монета (золото)
-третий сундук, вторая монета (серебро).

Это неверно. По условию задачи Вы вначале выбираете СУНДУК и монету из него. Потом выбираете еще одну монету ИЗ ЭТОГО ЖЕ сундука. Поэтому 6 перечисленных способов вовсе не являются "равновероятными". Если, скажем, Вы выбрали первый сундук, то уже никак не сможете достать монету из второго.
Позвольте намекнуть Вам, г-н философ, что речь в задаче идет об условных вероятностях. Парадоксы Монти Холла тут не по делу, это другая задача.

[fil0sof]

Ваш Тардис сломался и равновероятно высадил вас либо на Невский проспект 2017-го года, либо куда-то на Землю в Юрский период. Вы вышли из Тардиса и увидели динозавра. Какова вероятность, что вы попали в Юрский период?

Вы получаете 1\2, исходя из двух сундуков. Это в корне неверно, т.к. наличие двух альтернатив не означает, что они равновероятны.

Пожалуй, я не буду продолжать этот диалог. Задача очень старая, чисто математическая, и решение у неё строго одно и единственно верное — 2/3. Этот форум совершенно точно не то место, где мне хотелось бы воевать с ветряными мельницами и доказывать очевидное.

Если вы заинтересованы в том, чтобы разобраться, все материалы выше уже предоставлены, включая строгое однозначное доказательство при помощи кода.

Если хотите спорить с математикой, пожалуйста, но без меня

[mihaild]

При такой формулировке, как в задаче, не вполне ясно, нужно ли учитывать первоначальную вероятность вытащить золотую монету из трех сундуков с 2 монетами в каждом, или об этом нужно забыть и считать только 2 сундука с одной монетой (з или с) в каждом. Т.е. считать совокупную вероятность результата 2х выборов подряд, или только второго.

В математических задачах никогда не "нужно" забывать об условиях. Иногда забывать об условиях "можно" - после того, как доказано, что от этого ответ не меняется.

Поэтому 6 перечисленных способов вовсе не являются "равновероятными". Если, скажем, Вы выбрали первый сундук, то уже никак не сможете достать монету из второго.

И где у fil0sof'а вынимаются две монеты из разных сундуков? И не затруднит ли вас выписать, какие по-вашему априорные вероятности указанных им исходов?