Я понял, что решение Философа не устроило кворум?
Я могу объяснить то же самое иначе.
Чтобы посчитать вероятность вынуть вторую золотую монету, нам надо идти через формулу:
P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук).
Если формула кажется сложной, то её легко объяснить. Если бы мы знали, что мы выбрали первый сундук, то мы легко бы сосчитали вероятность вытащить оттуда монетку. Эту вероятность я обозначил как P(2=золото|первый сундук) -- это условная вероятность, то есть вероятность вытащить вторую золотую монету, если выбранный сундук первый. Но есть одно "но": мы не знаем какой сундук нам достался, поэтому эту условную вероятность надо отмасштабировать, помножить на вероятность того, что нам достался первый сундук. Таким образом получается первое слагаемое. Оставшиеся два получаются точно таким же образом, только номер сундука меняется.
Условные вероятности там мы знаем -- они легко считаются, соответственно: 1, 0, 0. Остаётся лишь сообразить, каковы вероятности того, что мы выбрали тот или иной сундук. Но тут всё просто. Точнее не совсем просто, есть один нюанс. Все вот эти вероятности вида P(N сундук), на самом деле являются _условными_ вероятностями и их правильнее было бы записывать как P(N сундук|1=золото). Я не стал писать так в формулу выше, чтобы совсем не загромождать её. Правильнее бы она выглядела так:
P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук|1=золото) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук|1=золото) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук|1=золото).
Ну так вот. Как выяснить эти вероятности? Второй сундук не мог быть выбран: мы вытащили золотую монету, а во втором сундуке нет ни одной золотой монеты. То есть P(второй сундук|1=золото) = 0. Значит был выбран либо первый, либо третий. Можно навскидку сообразить, что полная вероятность поделена между ними в соотношении 2:1 (или, точнее, 2:0:1, если учитывать все сундуки), а значит P(первый сундук|1=золото) = 2/3, P(второй сундук|1=золото) = 1/3.
Можно вместо байесианских рассуждений "навскидку" полноценно использовать формулу Байеса: мы знаем априорную вероятность выбора сундука N, мы знаем условную вероятность того, что будет вынута золотая монета при условии выбора N-ного сундука, значит мы можем посчитать апостериорную вероятность. Причём мы можем считать эту вероятность игнорируя существование второго сундука или учитывая его -- неважно, результат должен получиться одинаковым, если мы всё делаем правильно. Я не буду игнорировать второй сундук, вы можете проделать то же самое, сделав вид, что в условии не было второго сундука, и проверить таким образом мои рассуждения.
P(первый сундук|1=золото) = P(1=золото|первый сундук)*P(первый сундук)/P(1=золото) = (1*1/3)/(1/2) = 2/3.
P(второй сундук|1=золото) = P(1=золото|второй сундук)*P(второй сундук)/P(1=золото) = (1/2*1/3)/(1/2) = 1/3.
P(третий сундук|1=золото) = P(1=золото|третий сундук)*P(третий сундук)/P(1=золото) = (0*1/3)/(1/2) = 0.
На всякий случай я отмечу, что P(1=золото) вообще считается как сумма слагаемых вида P(N сундук)*P(1=золото|N сундук), для всех N от 1 до 3. То есть мы должны посчитать вероятность того, что мы, рандомно выбрав сундук и вынув рандомную монету оттуда, вытащили именно золотую монету и именно из N-ного сундука. А затем просуммировать эти вероятности. Получится: 1*1/3+1/2*1/3+0*1/3 = 1/2.
Так вот, возвращаясь обратно к той формуле:
P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук|1=золото) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук|1=золото) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук|1=золото).
У нас теперь есть все числа, их осталось подставить и посмотреть, что получится:
P(2=золото) = 1*2/3 + 0*1/3 + 0*0 = 2/3.
Теперь вопрос: в чем разница между "выбрали сундук, вытащили монетку, какова вероятность того, что вторая золотая при условии что вытащенная золотая" и "выбрали сундук, вытащили монетку, она оказалась золотой, какова вероятность того, что вторая золотая"?
И в чём же интересно? Мне кажется, что если теория вероятностей, которой мы пользуемся, будет присваивать разные вероятности в зависимости от такой перестановки слов, то она будет противоречивой теорией, и таким образом, совершенно бесполезной.
И если разница есть, то в чем частотный смысл первой и второй вероятностей? (частотный смысл вероятности - это отношение числа успехов к числу каких-то испытаний; как устроены испытания и что является успехом?)
И в чём же интересно?
Я вот прикидываю в голове, как бы я писал программки моделирующие ту и иную ситуацию, и каждый раз выходит что-то типа:
количество_золотых = 0;
количество_траев = 0;
do_a_lot_of_times {
первый_сундук.монеты = {золотая, золотая};
второй_сундук.монеты = {серебряная, серебряная};
третий_сундук.монеты = {золотая, серебряная};
coin = get_random_element(первый_сундук, второй_сундук, третий_сундук).get_random_coin();
if coin == золотая {
количество_золотых += 1;
}
количество_траев += 1;
}
print количество_золотых/количество_траев;Такая модель соответствует первой вашей формулировке или второй? Как должна отличаться эта модель для другой формулировки?
