Задача о сундуках

Автор Тема: Задача о сундуках  (Прочитано 21808 раз)

mcquadrat

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 14
  • +2/-5
    • Просмотр профиля
Re: Задача о сундуках
« Ответ #15 : 01 Августа 2017, 13:32 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Если вы заинтересованы в том, чтобы разобраться, все материалы выше уже предоставлены, включая строгое однозначное доказательство при помощи кода.
      Не вижу.

    Добавлено 01 Августа 2017, 13:55:
    И где у fil0sof'а вынимаются две монеты из разных сундуков? И не затруднит ли вас выписать, какие по-вашему априорные вероятности указанных им исходов?
    -первый сундук, первая монета из него (золото)
    -второй сундук, вторая монета (серебро)

    Это как бы из разных сундуков.
     Внимательно читаем условие:
    "Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?"
    На самом деле соответствующее задаче пространство элементарных событий F состоит из трех  точек, соответствующих возможным выборам трех сундуков. В нем можно выделить множество A, состоящее из точек, соответствующих выбору таких сундуков, что вытащеннная оттуда монетка оказалась золотой. Таких точек две. Наконец, во множестве A выделяем подмножество B, соответствующее таким сундукам, что и оставшаяся монета золотая. Оно состоит из одной точки. Тогда по формуле для определения условной вероятности
    https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C
     получаем, что нужная нам вероятность 1/2.
    « Последнее редактирование: 01 Августа 2017, 13:55 от mcquadrat »

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #16 : 01 Августа 2017, 14:11 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Это как бы из разных сундуков.
    Это как бы два разных элементарных исхода (из 6). Они все про первую монету (по которой вторая однозначно восстанавливается).

    Внимательно читаем условие:
    "Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку. Она оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монетка — тоже золотая?"
    На самом деле соответствующее задаче пространство элементарных событий F состоит из трех  точек, соответствующих возможным выборам трех сундуков.
    Нет, не так.
    "Сделали X, оказалось, что Y" означает, что вероятностное пространсво мы строим без учета Y, а уже потом относительно него обуславливаемся. Например, "вытащили монету, она оказалась золотой" - значит, что могли вытащить и серебряную, но смотрим только на случаи, когда вытащили золотую.
    Если вы с этим не согласны, то укажите, пожалуйста, вашу трактовку "сделали X, оказалось, что Y".

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #17 : 01 Августа 2017, 14:33 »
  • (+)0
  • (−)0
  • "Сделали X, оказалось, что Y" означает, что вероятностное пространсво мы строим без учета Y, а уже потом относительно него обуславливаемся. Например, "вытащили монету, она оказалась золотой" - значит, что могли вытащить и серебряную, но смотрим только на случаи, когда вытащили золотую.
    Если вы с этим не согласны, то укажите, пожалуйста, вашу трактовку "сделали X, оказалось, что Y".
    Напротив, я как раз именно это и пытаюсь объяснить =)
    В нашем случае "сделали X" - это выбрали сундук. "Оказалось, что Y" - оказалось, что там была золотая монета.
    Вероятностное пространство построено без учета Y - три сундука.
    Сделать X так чтобы оказалось что Y - значит выделить в нем подмножество из двух точек.

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #18 : 01 Августа 2017, 14:49 »
  • (+)0
  • (−)0
  • В нашем случае "сделали X" - это выбрали сундук. "Оказалось, что Y" - оказалось, что там была золотая монета.
    А почему такая дискриминация - выбор сундука вслепую учитывается в вероятностном пространстве, а выбор монеты - нет?
    Если потому что нам дальше дается какая-то информация про монету - ну так она является и информацией про сундук.

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #19 : 01 Августа 2017, 15:20 »
  • (+)0
  • (−)1
  • А почему такая дискриминация - выбор сундука вслепую учитывается в вероятностном пространстве, а выбор монеты - нет?
    Если потому что нам дальше дается какая-то информация про монету - ну так она является и информацией про сундук.
    Потому что условие задачи такое=) Там черным по белому сказано:
    "Я выбрал сундук случайным образом"
    Не монеты он выбирал, а сундук! Сундук!!!
    Невнимательно относиться к условиям задачи позволительно разве лишь философам))

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #20 : 01 Августа 2017, 15:26 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Потому что условие задачи такое=) Там черным по белому сказано:
    "Я выбрал сундук случайным образом"
    "Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку"

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #21 : 01 Августа 2017, 16:23 »
  • (+)0
  • (−)0
  • "Я выбрал сундук случайным образом и вслепую вытащил оттуда монетку"
      Да. Но монетку он вытащил уже после выбора сундука. Вытаскивание золотой монетки - это и есть условие для подсчета вероятности: золотая монета могла находиться в двух сундуках из трех.

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #22 : 01 Августа 2017, 16:30 »
  • (+)0
  • (−)0
  •   Да. Но монетку он вытащил уже после выбора сундука.
    Ну да, но у нас же есть цепное правило - как последовательность выборов свести к одному. Выбор сначала сундука, потом монетки эквивалентен некоторому выбору сразу монетки. Т.к. сундуки равновероятны, и содержат одинаковое число монет - то экивалентен выбору монетки равномерно.

    Давайте возьмем такую задачу: 3 сундука, выбрали вслепую сундук, выбрали вслепую из этого сундука монетку. Каковы вероятности:
    1) того, что выбранная монетка золотая?
    2) того, что оставшаяся монетка золотая?
    3) того, что и выбранная монетка золотая, и оставшаяся монетка золотая?
    4) [бонус] того, что оставшаяся монетка золотая при условии, что выбранная монетка золотая.

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #23 : 01 Августа 2017, 17:06 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Давайте возьмем такую задачу: 3 сундука, выбрали вслепую сундук, выбрали вслепую из этого сундука монетку. Каковы вероятности:
    1) того, что выбранная монетка золотая?
    2) того, что оставшаяся монетка золотая?
    3) того, что и выбранная монетка золотая, и оставшаяся монетка золотая?
    4) [бонус] того, что оставшаяся монетка золотая при условии, что выбранная монетка золотая.

    1) 1/2
    2) 1/2
    3) 1/3
    4) 2/3   

    Считал в уме, поправьте, если ошибаюсь))

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #24 : 01 Августа 2017, 17:23 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Да, так.
    Теперь вопрос: в чем разница между "выбрали сундук, вытащили монетку, какова вероятность того, что вторая золотая при условии что вытащенная золотая" и "выбрали сундук, вытащили монетку, она оказалась золотой, какова вероятность того, что вторая золотая"?
    И если разница есть, то в чем частотный смысл первой и второй вероятностей? (частотный смысл вероятности - это отношение числа успехов к числу каких-то испытаний; как устроены испытания и что является успехом?)

    mcquadrat

    • Новичок
    • *
    • Сообщений: 14
    • +2/-5
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #25 : 01 Августа 2017, 17:44 »
  • (+)1
  • (−)0
  • Да, так.
    Теперь вопрос: в чем разница между "выбрали сундук, вытащили монетку, какова вероятность того, что вторая золотая при условии что вытащенная золотая" и "выбрали сундук, вытащили монетку, она оказалась золотой, какова вероятность того, что вторая золотая"?
    И если разница есть, то в чем частотный смысл первой и второй вероятностей? (частотный смысл вероятности - это отношение числа успехов к числу каких-то испытаний; как устроены испытания и что является успехом?)

    Спасибо, я понял свою ошибку. Я не учел тот факт, что из сундука с одной золотой монетой можно было вытащить серебряную, так что мой подсчет условных вероятностей неправилен))

    P.S.
    Респект за проявленное терпение=)

    kuuff

    • Старожил
    • *****
    • Сообщений: 2 133
    • +220/-52
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #26 : 01 Августа 2017, 21:37 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Я понял, что решение Философа не устроило кворум?

    Я могу объяснить то же самое иначе.

    Чтобы посчитать вероятность вынуть вторую золотую монету, нам надо идти через формулу:

    P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук).

    Если формула кажется сложной, то её легко объяснить. Если бы  мы знали, что мы выбрали первый сундук, то мы легко бы сосчитали вероятность вытащить оттуда монетку. Эту вероятность я обозначил как P(2=золото|первый сундук) -- это условная вероятность, то есть вероятность вытащить вторую золотую монету, если выбранный сундук первый. Но есть одно "но": мы не знаем какой сундук нам достался, поэтому эту условную вероятность надо отмасштабировать, помножить на вероятность того, что нам достался первый сундук. Таким образом получается первое слагаемое. Оставшиеся два получаются точно таким же образом, только номер сундука меняется.

    Условные вероятности там мы знаем -- они легко считаются, соответственно: 1, 0, 0. Остаётся лишь сообразить, каковы вероятности того, что мы выбрали тот или иной сундук. Но тут всё просто. Точнее не совсем просто, есть один нюанс. Все вот эти вероятности вида P(N сундук), на самом деле являются _условными_ вероятностями и их правильнее было бы записывать как P(N сундук|1=золото). Я не стал писать так в формулу выше, чтобы совсем не загромождать её. Правильнее бы она выглядела так:

    P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук|1=золото) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук|1=золото) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук|1=золото).

    Ну так вот. Как выяснить эти вероятности? Второй сундук не мог быть выбран: мы вытащили золотую монету, а во втором сундуке нет ни одной золотой монеты. То есть P(второй сундук|1=золото) = 0. Значит был выбран либо первый, либо третий. Можно навскидку сообразить, что полная вероятность поделена между ними в соотношении 2:1 (или, точнее, 2:0:1, если учитывать все сундуки), а значит P(первый сундук|1=золото) = 2/3, P(второй сундук|1=золото) = 1/3.

    Можно вместо байесианских рассуждений "навскидку" полноценно использовать формулу Байеса: мы знаем априорную вероятность выбора сундука N, мы знаем условную вероятность того, что будет вынута золотая монета при условии выбора N-ного сундука, значит мы можем посчитать апостериорную вероятность. Причём мы можем считать эту вероятность игнорируя существование второго сундука или учитывая его -- неважно, результат должен получиться одинаковым, если мы всё делаем правильно. Я не буду игнорировать второй сундук, вы можете проделать то же самое, сделав вид, что в условии не было второго сундука, и проверить таким образом мои рассуждения.

    P(первый сундук|1=золото) = P(1=золото|первый сундук)*P(первый сундук)/P(1=золото) = (1*1/3)/(1/2) = 2/3.
    P(второй сундук|1=золото) = P(1=золото|второй сундук)*P(второй сундук)/P(1=золото) = (1/2*1/3)/(1/2) = 1/3.
    P(третий сундук|1=золото) = P(1=золото|третий сундук)*P(третий сундук)/P(1=золото) = (0*1/3)/(1/2) = 0.

    На всякий случай я отмечу, что P(1=золото) вообще считается как сумма слагаемых вида P(N сундук)*P(1=золото|N сундук), для всех N от 1 до 3. То есть мы должны посчитать вероятность того, что мы, рандомно выбрав сундук и вынув рандомную монету оттуда, вытащили именно золотую монету и именно из N-ного сундука. А затем просуммировать эти вероятности. Получится: 1*1/3+1/2*1/3+0*1/3 = 1/2.

    Так вот, возвращаясь обратно к той формуле:

    P(2=золото) = P(2=золото|первый сундук)*P(первый сундук|1=золото) + P(2=золото|второй сундук)*P(второй сундук|1=золото) + P(2=золото|третий сундук)*P(третий сундук|1=золото).

    У нас теперь есть все числа, их осталось подставить и посмотреть, что получится:
    P(2=золото) = 1*2/3 + 0*1/3 + 0*0 = 2/3.

    Теперь вопрос: в чем разница между "выбрали сундук, вытащили монетку, какова вероятность того, что вторая золотая при условии что вытащенная золотая" и "выбрали сундук, вытащили монетку, она оказалась золотой, какова вероятность того, что вторая золотая"?
    И в чём же интересно? Мне кажется, что если теория вероятностей, которой мы пользуемся, будет присваивать разные вероятности в зависимости от такой перестановки слов, то она будет противоречивой теорией, и таким образом, совершенно бесполезной.
    И если разница есть, то в чем частотный смысл первой и второй вероятностей? (частотный смысл вероятности - это отношение числа успехов к числу каких-то испытаний; как устроены испытания и что является успехом?)
    И в чём же интересно?

    Я вот прикидываю в голове, как бы я писал программки моделирующие ту и иную ситуацию, и каждый раз выходит что-то типа:

    количество_золотых = 0;
    количество_траев = 0;
    do_a_lot_of_times {
        первый_сундук.монеты = {золотая, золотая};
        второй_сундук.монеты = {серебряная, серебряная};
        третий_сундук.монеты = {золотая, серебряная};
        coin = get_random_element(первый_сундук, второй_сундук, третий_сундук).get_random_coin();
        if coin == золотая {
            количество_золотых += 1;
        }
        количество_траев += 1;
    }
    print количество_золотых/количество_траев;

    Такая модель соответствует первой вашей формулировке или второй? Как должна отличаться эта модель для другой формулировки?

    mihaild

    • Пользователь
    • **
    • Сообщений: 22
    • +5/-0
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #27 : 02 Августа 2017, 01:09 »
  • (+)0
  • (−)0
  • kuuf, вы к шапочному разбору пришли. Мой вопрос был адресован mcquadrat, который ошибся и в результате сделал утверждения, из которых в совокупности вытекало, что приведенные варианты дают разную задачу. Ошибку уже нашли, вопрос неактуален.

    fil0sof

    • Главный модератор
    • Ветеран
    • *****
    • Сообщений: 969
    • +55/-3
      • Просмотр профиля
      • VK profile
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #28 : 02 Августа 2017, 10:46 »
  • (+)0
  • (−)0
  • kuuff, я больше скажу, "решение Философа" на самом деле решение mihaild'a шестилетней давности :)

    Scondo

    • Ветеран
    • ****
    • Сообщений: 321
    • +35/-4
      • Просмотр профиля
    Re: Задача о сундуках
    « Ответ #29 : 02 Августа 2017, 11:07 »
  • (+)0
  • (−)0
  • Для тех, кто очень быстро решил, другая популярная вариация:

    У мистера Джонса два ребёнка. Старший из них - мальчик. Какова вероятность, что второй - тоже мальчик.