Квирреллу было нужно, чтобы Гермиона сама сказала Гарри, что она добровольно покидает Хогвартс, чтобы скрыться, чтобы Гарри не выкидывал глупостей и думал, что с ней всё в порядке
Гермиона не может покинуть Хогвартс без санкции его директора. И далеко не факт, что Дамблдор пойдет на это (в Хогвартсе же безопаснее

). Но даже если и пойдет, то будет лично контролировать весь процесс перевода в другое учебное заведение.
А были ли какие-то отсылки на то, что по империусу были шансы его вычислить?
"— Скорее,
Легилименс, — сказал профессор Квиррелл. — Я не знаю, среагировали бы защитные чары Хогвартса на вернувшегося профессора, на которого наложено проклятие Империус. И если я не знаю, Малфой, вероятно, тоже не знает. Но Малфой — превосходный окклюмент, и, возможно, он способен использовать легилименцию".