2-4-6

[Alexey_F]

Вообще, большинство людей (по крайней мере, американцев ) поражено болезнью innumeracy. См., например, тут.

Ничего себе. 
То есть, эти люди вообще не осознают, что такое числа? Просто пользуются непонятными значками, показанными им в детстве, по рассказанным в детстве же правилам, в чётко предписанных ситуациях? Совсем-совсем не могут в математику и даже арифметику?

Я, конечно, знал из разных источников, что у нас на планете (в т.н. "цивилизованных странах") с этим плохо, но не ожидал, что пессимизма на эту тему окажется настолько недостаточно.

[Anonymouse]

Совсем-совсем не могут в математику и даже арифметику?

Отчего же, могут. Они чётко представляют арифметику (а многие, те же студенты, даже математику), но не представляют себе даже порядки величин в применении к объектам реального мира. Вы же читали: когда преподаватель предложил соотносить цифры с известными им расстояниями, "after being explicitly taught most of the students got better at understanding the size of numbers."

[zombie]

Когда я линканул это видео в группе в скайпе, мне сказали, что это легко и элементарно и что они сразу догадались. Я проапдейтил задачу словами:
"2-4-6, эти числа удовлетворяют правилу. Назовите свою последовательность чисел, и я скажу, удовлетворяет она или нет". Я честно отвечал "да" на любые сказанные три числа, комплексные, отрицательные, рациональные, трансцендентные. Но опрашиваемый так и не вылез из ящика и сдался. А правило-то было реально простое.

Вообще-то с этой игрой есть одна проблема - вероятность угадать правило после любого конечного числа вопросов равна нулю. Это строгий математический факт, который можно доказать несколькими способами.

Способ первый, опирающийся на понятие геометрической вероятности: рассмотрим правила вида "допустимы любые тройки, кроме Х", где Х -- одна фиксированная тройка. Согласно теории вероятностей, вероятность попасть строго в тройку Х при случайном угадывании равна нулю. В качестве пояснения: угадать такую тройку столь же трудно, как угадать ровно одно загаданное вещественное число. А теперь представьте, что загаданное число - не целое и не рациональное вообще (к примеру, корень из 31).

Способ второй, не использующий теорию меры и геометрическую вероятность: зададим параметр k - натуральное число, и рассмотрим правила вида "допустимы все тройки (x,y,z) с натуральными координатами такие, что x и y - любые, а z подходит только в том случае, если на позиции номер z после запятой в двоичной записи числа 2^ke стоит единица". Согласно теореме Пуанкаре о возвращении, любой конечный набор цифр, идущих подряд в двоичной записи непериодической дроби, встречается в этой записи бесконечное количество раз. Как следствие, даже зная полностью все правило, которое было сформулировано выше, но не зная параметр k, невозможно найти k за конечное число экспериментов.

При необходимости к обоим доказательствам я могу давать дополнительные пояснения.

[bore]

Вообще-то с этой игрой есть одна проблема - вероятность угадать правило после любого конечного числа вопросов равна нулю. Это строгий математический факт, который можно доказать несколькими способами.

Вообще-то, проблема совсем другая, и очень жаль, что Вы пропустили её описание в тексте:

Обычно люди предпочитают проводить эксперименты, которые подтвердят их гипотезы, а не те, которые их опровергнут. ... Необходимо учиться смотреть на отрицательные стороны вещей, пристально вглядываясь в темноту. При проведении этого эксперимента только двадцать процентов взрослых доходят до правильного ответа. Большинство же изобретает фантастически сложные гипотезы и абсолютно уверены в правильности своего варианта. Особенно после многочисленных экспериментов, подтвердивших их ожидания.

Вообще, большинство людей (по крайней мере, американцев ) поражено болезнью innumeracy.

Дорогой доктор, исследуя "болезни", не забывайте посмотреть на свой компьютер. Ну хотя бы. Чтоб не пропустить болезнь по названию "шовинизм".

[Волхв]

На самом деле, испытуемый сдался слишком рано. Если бы он внимательно посмотрел на формулировку (приведу ещё раз):
"2-4-6, эти числа удовлетворяют правилу. Назовите свою последовательность чисел, и я скажу, удовлетворяет она или нет", то  мог легко назвать пример с негативным исходом.
(Я специально изменил исходную формулировку.)

[Tachkin]

На самом деле, испытуемый сдался слишком рано.

Вы слишком явно намекаете, что чисел может быть не 3.
Слишком явно для текущего ресурса ))))

ЗЫ Весело будет, если я не прав.

[Волхв]

Слишком явно для текущего ресурса ))))

Я тоже так думал, но, видимо, оказался неправ. Анализ от zombie был неплох (и даже, видимо, верен в рамках предположения), но абсолютно нерелевантен, потому пришлось прояснить. (Плюс, если честно, я поначалу даже забыл собственную формулировку вопроса, в первой итерации [до отправки комментария] я подумал, что это правило удовлетворяет вообще любым числам. Только потом дошло, что я тоже думал шаблоном в этот момент)
Увы, если не догадался хотя бы один из пользователей, то, значит, будут и другие.=\
Плюс вопрос уже давно потерял свою актуальность, так что ответ ничего не изменит.

[nar]

Вообще-то с этой игрой есть одна проблема - вероятность угадать правило после любого конечного числа вопросов равна нулю. Это строгий математический факт, который можно доказать несколькими способами.

Способ первый, опирающийся на понятие геометрической вероятности: рассмотрим правила вида "допустимы любые тройки, кроме Х", где Х -- одна фиксированная тройка. Согласно теории вероятностей, вероятность попасть строго в тройку Х при случайном угадывании равна нулю. В качестве пояснения: угадать такую тройку столь же трудно, как угадать ровно одно загаданное вещественное число. А теперь представьте, что загаданное число - не целое и не рациональное вообще (к примеру, корень из 31).

Способ второй, не использующий теорию меры и геометрическую вероятность: зададим параметр k - натуральное число, и рассмотрим правила вида "допустимы все тройки (x,y,z) с натуральными координатами такие, что x и y - любые, а z подходит только в том случае, если на позиции номер z после запятой в двоичной записи числа 2^ke стоит единица". Согласно теореме Пуанкаре о возвращении, любой конечный набор цифр, идущих подряд в двоичной записи непериодической дроби, встречается в этой записи бесконечное количество раз. Как следствие, даже зная полностью все правило, которое было сформулировано выше, но не зная параметр k, невозможно найти k за конечное число экспериментов.

При необходимости к обоим доказательствам я могу давать дополнительные пояснения.

Вы упустили одну деталь - правило неявным образом предполагалось простым и легко формулируемым. Естественно, правило можно задать в виде совершенно произвольного множества подходящих троек, не связанных между собой никакими закономерностями, кроме присутствия в этом списке. Но в таком виде задача теряет смысл.

[Quilfe]

Можно ограничить длину формулировки правила на естественном языке (с сохранением однозначности). Не строго формальное ограничение, но достаточно мощное.

[zombie]

Вы упустили одну деталь - правило неявным образом предполагалось простым и легко формулируемым. Естественно, правило можно задать в виде совершенно произвольного множества подходящих троек, не связанных между собой никакими закономерностями, кроме присутствия в этом списке. Но в таком виде задача теряет смысл.

"Простое" - формально не определимо, увы. "Легко формулируемое" - тоже не выход. Правило "число -241.782113 встречаться не может" легко сформулировать, но вероятность его отличить от правила "подходит что угодно" равна нулю.

Ну а насчет "двадцати процентов взрослых, которые доходят до правильного ответа", о которых упомянуто в тексте Юдковского - извините, не верю. И теория вероятностей в этом полностью на моей стороне.

Более того, современная физика постоянно работает "не по-Юдковскому". У многих т.н. физических законов существуют границы применимости, то, насколько модель отличается от реальности и так далее. И существование релятивистских поправок к законам классической механики нисколько не мешает пользоваться этими самыми законами классической механики - хотя формально они неверны. И более того, любое построение теории содержит набирание положительных примеров - как первую стадию. Без некоторого набора положительных примеров не на что опереться с формулировкой. Да, многие люди на этой первой стадии и останавливаются. Но это не означает, что сама по себе стадия накопления подтверждений чем-то плоха.

[Quilfe]

Ну а насчет "двадцати процентов взрослых, которые доходят до правильного ответа", о которых упомянуто в тексте Юдковского - извините, не верю. И теория вероятностей в этом полностью на моей стороне.

Теории вероятности еще недостаточно, ведь гипотезы выдвигаются неслучайно. Ваше предположение легко проверяется экспериментом, и я даже думаю, что приведенная цифра взята из эксперимента.

Более того, современная физика постоянно работает "не по-Юдковскому". У многих т.н. физических законов существуют границы применимости, то, насколько модель отличается от реальности и так далее. И существование релятивистских поправок к законам классической механики нисколько не мешает пользоваться этими самыми законами классической механики - хотя формально они неверны. И более того, любое построение теории содержит набирание положительных примеров - как первую стадию. Без некоторого набора положительных примеров не на что опереться с формулировкой. Да, многие люди на этой первой стадии и останавливаются. Но это не означает, что сама по себе стадия накопления подтверждений чем-то плоха.

Нет, использование аппроксимаций - не то же, что принципиально другая фундаментальная модель, так что физика не работает "не по Юдковскому". (Физики - возможно.) И всё равно непонятно, как из него следует отсутствие необходимости искать контрпримеры.

[zombie]

Теории вероятности еще недостаточно, ведь гипотезы выдвигаются неслучайно. Ваше предположение легко проверяется экспериментом, и я даже думаю, что приведенная цифра взята из эксперимента.

Возможно, в некотором эксперименте подобное и получилось. Как известно, теория вероятностей ничего не может сказать о результате одиночного эксперимента. (Т.н. "вероятность" в классическом ее определении - всего лишь предел относительной частоты "успехов" при числе экспериментов, стремящихся в бесконечность.) Однако, интересно было бы взглянуть на статистические параметры этого эксперимента - объем выборки, доверительный интервал для этих 20% и прочее.

Нет, использование аппроксимаций - не то же, что принципиально другая фундаментальная модель, так что физика не работает "не по Юдковскому". (Физики - возможно.) И всё равно непонятно, как из него следует отсутствие необходимости искать контрпримеры.

Является ли релятивистская модель механики фундаментально другой по сравнению с классической механикой? Является ли волновая оптика фундаментально другой по сравнению с геометрической оптикой?

Кроме того - я не говорил ни разу о том, что контрпримеры искать не надо. Вообще говоря, по моему собственному опыту как математика, исследование проблемы происходит примерно так:
1. обсчитываем ряд примеров и формулируем гипотезу о том, каковы причины описываемого феномена (то самое набирание положительных примеров)
2. пытаемся доказать полученную гипотезу.
3а. если доказательство удалось получить успешно - исследование завершено, результат получен. Такое бывает крайне редко.
3б. если в каком-то месте доказательства возникла трудность, которую не удается преодолеть (нет возможности обосновать нужное неравенство, к примеру) - пытаемся исходя из сведений о природе этой трудности сформулировать контрпример. Если это удалось сделать - добавляем контрпример к списку "положительных примеров" и модифицируем исходную гипотезу, после чего переходим к шагу 1 или 2. Если же контрпример придумать не удается, то нужно пробовать другие методы доказательства, читать литературу, обращаться к коллегам и вообще "двигаться вширь". Иногда (нечасто) помогает численный эксперимент.

[Quilfe]

Вам предлагают поучаствовать в одном из двух мероприятий:

1. Вы платите 1000 р. за участие, затем кидаете кубик дважды. Если выпали две разные цифры, вы получаете 10 000 р., если нет - ничего.

2. Вы платите 5000 р. за участие, затем кидаете кубик дважды. Если каждый раз выпала единица, вы получаете 40 000 р., если нет - ничего.

Вы не можете не выбирать, вы можете выбрать любой вариант, но только один. Предлагают один раз в жизни, больше такого не повторят.

Что вы выберете и почему?

[Kroid]

Ну а насчет "двадцати процентов взрослых, которые доходят до правильного ответа", о которых упомянуто в тексте Юдковского - извините, не верю. И теория вероятностей в этом полностью на моей стороне.

Вы неправильно применяете свою теорию вероятности. У нас уже есть задача и уже есть ответ на неё. Этот ответ не выдумывается каждый раз случайным образом. Он вообще придуман неслучайно. Если взять аналогию с подбрасыванием монеты: теория вероятности симметричной монеты говорит, что решка будет выпадать в половине случаев, но наша монета изначально не симметрична.

[Tachkin]

Вам предлагают поучаствовать в одном из двух мероприятий:

Я в первом поучаствовал бы (83% вроде как). Во втором только если приз увеличат до больше 180 тр ))

или это не ко всем вопрос был?