Сообщения

1

Обсуждение книги / Re: 2-4-6

« : 21 Декабря 2015, 23:18 »

Вам предлагают поучаствовать в одном из двух мероприятий:

1. Вы платите 1000 р. за участие, затем кидаете кубик дважды. Если выпали две разные цифры, вы получаете 10 000 р., если нет - ничего.

2. Вы платите 5000 р. за участие, затем кидаете кубик дважды. Если каждый раз выпала единица, вы получаете 40 000 р., если нет - ничего.

Вы не можете не выбирать, вы можете выбрать любой вариант, но только один. Предлагают один раз в жизни, больше такого не повторят.

Что вы выберете и почему?

Это под девизом "давайте проверим, знает ли данный человек элементы теории вероятностей"? Ну давайте посчитаем.
Базовые сведения: вероятность выпадения двух разных цифр на кубике равна (6²-6)/(6²)=5/6, вероятность выпадения единицы два раза подряд равна 1/36.
Математическое ожидание полученной суммы в первом случае 9000*5/6-1000*1/6=22000/3
Математическое ожидание полученной суммы во втором случае 35000*1/36-5000*35/36=-35000/9.
Нетрудно видеть, что первый вариант сильно более выигрышный с точки зрения математического ожидания, чем второй. В силу того, что предсказать в точности результат эксперимента мы не можем, будем исходить из оценки ожидаемого выигрыша (потерь во втором случае). Вывод - первый вариант.

Я в первом поучаствовал бы (83% вроде как). Во втором только если приз увеличат до больше 180 тр ))

или это не ко всем вопрос был?

Да, давайте дополнительно оценим, насколько надо увеличить приз во втором эксперименте, чтобы он стал выгоднее. Для этого решаем неравенство
x*1/36-5000>22000/3
и получаем, что x>444000. То есть при диапазоне от 180 до 444 тысяч ожидаемая прибыль от первого эксперимента все равно выше.

Это был вопрос к товарищу, который считает, что теорвер применяется только к повторяющимся событиям.

Да, признаю ошибку в формулировке - не "ничего". Строго следовало формулировать так: теория вероятностей не может предсказать результат конкретного эксперимента, если этот результат не детерминирован.

2

Обсуждение книги / Re: 2-4-6

« : 21 Декабря 2015, 22:31 »

Теории вероятности еще недостаточно, ведь гипотезы выдвигаются неслучайно. Ваше предположение легко проверяется экспериментом, и я даже думаю, что приведенная цифра взята из эксперимента.

Возможно, в некотором эксперименте подобное и получилось. Как известно, теория вероятностей ничего не может сказать о результате одиночного эксперимента. (Т.н. "вероятность" в классическом ее определении - всего лишь предел относительной частоты "успехов" при числе экспериментов, стремящихся в бесконечность.) Однако, интересно было бы взглянуть на статистические параметры этого эксперимента - объем выборки, доверительный интервал для этих 20% и прочее.

Нет, использование аппроксимаций - не то же, что принципиально другая фундаментальная модель, так что физика не работает "не по Юдковскому". (Физики - возможно.) И всё равно непонятно, как из него следует отсутствие необходимости искать контрпримеры.

Является ли релятивистская модель механики фундаментально другой по сравнению с классической механикой? Является ли волновая оптика фундаментально другой по сравнению с геометрической оптикой?

Кроме того - я не говорил ни разу о том, что контрпримеры искать не надо. Вообще говоря, по моему собственному опыту как математика, исследование проблемы происходит примерно так:
1. обсчитываем ряд примеров и формулируем гипотезу о том, каковы причины описываемого феномена (то самое набирание положительных примеров)
2. пытаемся доказать полученную гипотезу.
3а. если доказательство удалось получить успешно - исследование завершено, результат получен. Такое бывает крайне редко.
3б. если в каком-то месте доказательства возникла трудность, которую не удается преодолеть (нет возможности обосновать нужное неравенство, к примеру) - пытаемся исходя из сведений о природе этой трудности сформулировать контрпример. Если это удалось сделать - добавляем контрпример к списку "положительных примеров" и модифицируем исходную гипотезу, после чего переходим к шагу 1 или 2. Если же контрпример придумать не удается, то нужно пробовать другие методы доказательства, читать литературу, обращаться к коллегам и вообще "двигаться вширь". Иногда (нечасто) помогает численный эксперимент.

3

Обсуждение книги / Re: 2-4-6

« : 21 Декабря 2015, 22:01 »

Вы упустили одну деталь - правило неявным образом предполагалось простым и легко формулируемым. Естественно, правило можно задать в виде совершенно произвольного множества подходящих троек, не связанных между собой никакими закономерностями, кроме присутствия в этом списке. Но в таком виде задача теряет смысл.

"Простое" - формально не определимо, увы. "Легко формулируемое" - тоже не выход. Правило "число -241.782113 встречаться не может" легко сформулировать, но вероятность его отличить от правила "подходит что угодно" равна нулю.

Ну а насчет "двадцати процентов взрослых, которые доходят до правильного ответа", о которых упомянуто в тексте Юдковского - извините, не верю. И теория вероятностей в этом полностью на моей стороне.

Более того, современная физика постоянно работает "не по-Юдковскому". У многих т.н. физических законов существуют границы применимости, то, насколько модель отличается от реальности и так далее. И существование релятивистских поправок к законам классической механики нисколько не мешает пользоваться этими самыми законами классической механики - хотя формально они неверны. И более того, любое построение теории содержит набирание положительных примеров - как первую стадию. Без некоторого набора положительных примеров не на что опереться с формулировкой. Да, многие люди на этой первой стадии и останавливаются. Но это не означает, что сама по себе стадия накопления подтверждений чем-то плоха.

4

Обсуждение книги / Re: 2-4-6

« : 21 Декабря 2015, 07:43 »

Когда я линканул это видео в группе в скайпе, мне сказали, что это легко и элементарно и что они сразу догадались. Я проапдейтил задачу словами:
"2-4-6, эти числа удовлетворяют правилу. Назовите свою последовательность чисел, и я скажу, удовлетворяет она или нет". Я честно отвечал "да" на любые сказанные три числа, комплексные, отрицательные, рациональные, трансцендентные. Но опрашиваемый так и не вылез из ящика и сдался. А правило-то было реально простое.

Вообще-то с этой игрой есть одна проблема - вероятность угадать правило после любого конечного числа вопросов равна нулю. Это строгий математический факт, который можно доказать несколькими способами.

Способ первый, опирающийся на понятие геометрической вероятности: рассмотрим правила вида "допустимы любые тройки, кроме Х", где Х -- одна фиксированная тройка. Согласно теории вероятностей, вероятность попасть строго в тройку Х при случайном угадывании равна нулю. В качестве пояснения: угадать такую тройку столь же трудно, как угадать ровно одно загаданное вещественное число. А теперь представьте, что загаданное число - не целое и не рациональное вообще (к примеру, корень из 31).

Способ второй, не использующий теорию меры и геометрическую вероятность: зададим параметр k - натуральное число, и рассмотрим правила вида "допустимы все тройки (x,y,z) с натуральными координатами такие, что x и y - любые, а z подходит только в том случае, если на позиции номер z после запятой в двоичной записи числа 2^ke стоит единица". Согласно теореме Пуанкаре о возвращении, любой конечный набор цифр, идущих подряд в двоичной записи непериодической дроби, встречается в этой записи бесконечное количество раз. Как следствие, даже зная полностью все правило, которое было сформулировано выше, но не зная параметр k, невозможно найти k за конечное число экспериментов.

При необходимости к обоим доказательствам я могу давать дополнительные пояснения.