Парадокс Аллэ

[nar]

В ходе праздных размышлений возникла небольшая идея о том, как можно, не вводя никаких строгих пороговых значений и не используя "zero-risk bias", который тут некоторым не нравится, объяснить критерий выбора в различных казино-задачах (где есть шанс проиграть всё или сколько-то выиграть и т.д.).
Надо смотреть не мат. ожидание количества денег avg(money), а обратную величину к мат. ожиданию обратной величины 1/avg(1/money). Тут автоматически получается такой результат, что если хотя бы в одной точке пространства событий money=0 то и итоговая функция будет равна нулю. Также тут получается, что при наличии вероятности "всё останется как есть" ценность возможного исхода с большим выигрышем растёт не пропорционально вероятности такого исхода, а круче (затрудняюсь ответить, соответствует ли это моим личным интуитивным оценкам или нет, может кто подскажет свои), а вот от размера выигрыша зависит наоборот с порядком меньше линейного (что уже явно так и есть).
Естественно, вместо 1/x можно взять и чуть другую функцию с похожим поведением, потому как 1/avg(1/x) всё же слишком резко уходит в ноль при малейшей опасности проиграть и дальше не меняется, что явно не соответствует действительности.

[assargadon]

Парадоксальность парадокса Аллэ состоит в невозможности построить функцию полезности, которая указывала бы на предпочтительность A1 перед A2 и одновременно - на предпочтительность B2 перед B1.

Представим себе следующую "метаигру":

• игр проводится несколько, в пределе - бесконечное число
• каждый шаг игры стоит определенную сумму, причём отказаться от выплаты нельзя
• нельзя накопить денег больше определенного верхнего порога
• метаигра заканчивается, когда игрок разоряется
• цель метаигры - провести максимальное число игр

Если рассматривать в качестве функции полезности ожидаемое количество раундов метаигры, то парадокс получает разрешение в широком диапазоне параметров.

Таким образом ясно, что невозможность построения функции полезности является следствием ограничения, накладываемого на такую функцию: она не должна зависеть от вероятности. Впрочем, если функция полезности получает на вход как выигрыш, так и его вероятность, возможность существования требуемой функции очевидна и без конкретного примера - идея, которую, как я понимаю, пытались высказать в предыдущем посте.

В частности, если каждый шаг стоит 20 единиц, максимальный запас - 40 единиц, а начинается метаигра с 10 единицами, то легко видеть, что A1 будет давать бессмертие, а A2 - нет. В то же время B2 будет предпочительнее B1 как раз из-за более высокого матожидания.

===============================

Для лучшего понимания правил приведу простую биологическую аналогию: животное постоянно тратит энергию просто на своё функционирование. Животное вынуждено выбирать более или менее рискованный и, соответственно, более или менее прибыльный вариант добычи пропитания. Животное не может растолстеть выше определеннгой меры. Животное умрёт от голода, если ему будет постоянно сопутствовать неудача в поиске еды. Животное хочет жить как можно дольше.

===============================

Такой подход органически включает в себя "zero-risk bias"/"ценность абсолютной уверенности", и естественным образом отвечает на вопрос "а если вероятность не 100%, а 99.99%, то что?", без введений отдельного ad-hoc-алгоритма оценки.

Наконец, подход неплохо соотносится с интерпретацией самого Алле.

===============================

Не могу с полной уверенностью утверждать, но, кажется, ограничение на накопление не является на самом деле необходимым - а лишь упрощает доказательство на пальцах.

[Dmitry_P]

В первом случае я за 3000 плачу вероятностью проигрыша в 3%.
Во втором случае я за те же 3000 увеличиваю возможность проигрыша лишь на 1%.
По-моему, ситуации не эквивалентны, разве не так?

[Kroid]

Кстати говоря, насчет фундаментальной разницы между точным событием и вероятностным. Как насчет небольшой задачки? Без подвоха, без жулика, хитро бросающего кубик и подобного. Простая и ясная.

Условие:
Любое число (1,2,3,4,5,6) в игральном кубике выпадает с вероятностью 1/6.
Вам предлагают сделать ставку 1'000$ на то, что вот сейчас этот кубик бросят и выпадет единица.
Если ставка выиграет, вам дадут 8'000$; нет - потеряете свою 1'000$.
Можете отказаться от игры, тогда вам просто так дадут 1'000$.
Предложение одноразовое.
Как вы поступите?


Пример размышлений, основанных на теории вероятностей:
Мат. ожидание ставки: +2'000$.
Мат. ожидание отказа от игры: +1'000$
Следовательно, надо делать ставку.

Но сделаете ли вы так в реальной жизни, не сидя в казино и не имея в запасе возможности играть еще и еще, пока не наберется дистанция?

[nar]

Мат. ожидание ставки на +2000 а +333 так что она полюбому невыгодна. Но даже если бы там было +2000, понятно что разумный человек, без приступа азарта, ставку делать не станет.

[kuuff]

даже если бы там было +2000, понятно что разумный человек, без приступа азарта, ставку делать не станет.

Мне до сих пор непонятно одно, как эту разумность обосновать математически.

[Scondo]

Мне до сих пор непонятно одно, как эту разумность обосновать математически.

Достаточно просто (по-моему что-то такое уже всплывало в теме): достаточно ввести штраф за факт риска. Это чисто психологический момент, но он есть, хотя может исчезать на достаточно маленьких значениях риска.

[Kroid]

Мат. ожидание ставки на +2000 а +333

Да, увидел ошибку. Пусть размер выигрыша будет 17'000$

Мне до сих пор непонятно одно, как эту разумность обосновать математически.

Добавьте в уравнение личную заинтересованность и нежелание потери. Или наоборот, не добавляйте. В этом и вопрос - нужно ли?
В разных местах у разных людей разные доходы и расходы, поэтому величину ставки можно сделать равной своей зарплате, чтобы было меньше похоже на абстрактные цифры и больше на реальный пример.

Я вдруг понял, что на эту тему есть поговорка - "лучше синица в руках, чем журавль в небе".

[nar]

Мне до сих пор непонятно одно, как эту разумность обосновать математически.

Надо брать мат. ожидание не количества денег а некоторой функции от него. Из примитивных вариантов очень подходит функция 1/(a+x), где a - некоторая константа (такая чтобы отрицательного знаменателя не могло быть) а x - количество денег. И выбираем вариант с минимальным мат. ожиданием этой функции. Можно наверно найти более подходящую но она будет уже слишком сложной и для наглядного примера ненужной.

[Dmitry_P]

Мат. ожидание ставки на +2000 а +333 так что она полюбому невыгодна. Но даже если бы там было +2000, понятно что разумный человек, без приступа азарта, ставку делать не станет.

Как вы так считаете? Не 2000 и не 333, а 500.