156
правок
Изменения
Нет описания правки
В одной из формулировок байесовское правило выглядит так: '''априорные шансы х соотношение условных шансов = апостериорные шансы'''.
Если мы рассмотрим [[Водопадные диаграммы и относительные шансы|водопадную визуализацию проблемы с Болезнитом]], то будет наглядно видно, как относительные шансы помогают думать про два потока на вершине водопада.
Это можно применить и для других проблем: предположим, что у нас есть медицинский тест, выявляющий болезнь с истинноположительной точностью в 90% (10% ложноотрицательных) и 30% ложноположительных (70% ложноотрицательных). Положительный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 60% истинноположительными и 20% ложноположительными. А отрицательный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 9% ложноотрицательных и 63% истинноотрицательных.
В целом, сила свидетельства является соотношением того, насколько более/менее вероятными разные возможные состояния мира способствуют делают наблюдению специфических феноменов. Но об этом позже.
== Уравнение==
Чтобы действительно выразить ТБ в формулах и доказать ее, нам потребуется ввести несколько новых обозначений.
=== Условная вероятность===
Во-первых, если <math>X</math> это утверждение, то <math>P(X)</math> это [[вероятность]] <math>X.</math>
3MIl3s5K.png
</gallery>
В этих случаях мы идем от факта про который мы "знаем" или "предполагаем", что он истинен (справа), к утверждению (слева), вероятность которого мы оцениваем, принимая во внимание "известный" факт.
Такие вероятностные утверждения называются "условными вероятностями". Если выразить приведенные выше утверждения с помощью стандартных формул, то они будут выглядеть так:
* <math>\mathbb P(blackened \mid sick) = 0.9</math>
* <math>\mathbb P(blackened \mid \neg sick) = 0.3</math>
* <math>\mathbb P(sick \mid blackened) = 3/7</math>
(прим. blackened - почерневший депрессор; sick - зараженный)
<sarcasm>Стандартная запись <math>\mathbb P(X \mid Y)</math> означающая "вероятность <math>X</math>, при условии что <math>Y</math> истинно", содержит "полезную" вертикальную линию, которая, в свою очередь, не дает никаких визуальных подсказок о том, что справа находится предполагаемый факт, а слева - выводимый. </sarcasm>
Вот как определяется условная вероятность, при использовании обозначений <math>X \wedge Y</math> для обозначения "X и Y" или же "оба <math>X</math> и <math>Y</math> истинны":
<math>\mathbb P(X \mid Y) := \frac{\mathbb P(X \wedge Y)}{\mathbb P(Y)}</math>
Т.е. с точки зрения задачи с Болезнитом, <math>\mathbb P(sick \mid blackened)</math> вычисляется путем деления 18% больных студентов с почерневшим депрессором (<math>\mathbb P(sick \wedge blackened)</math>) на 42% всех с почерневшим депрессором (<math>\mathbb P(blackened)</math>).
Или рассмотрим <math>\mathbb P(blackened \mid \neg sick),</math> - вероятность того, что депрессор почернеет, при условии что пациент здоров. Что эквивалентно делению 24 здоровых студентов с почерневшим депрессором на 80 здоровых. 24 / 80 = 3/10, что соответствует 30% ложноположительных результатов из начальных условий.
Закон условных вероятностей можно выразить так: "Сосредоточим все внимание на возможных мирах, где <math>Y</math> истинно, или истинны Y-подобные штуки. Рассматривая лишь случаи где <math>Y</math> истинно, сколько мы найдем случаев внутри этого множества, где еще и <math>X</math> истинно? Т.е. где истинно <math>Y</math> и <math>X</math>?
Для получения дополнительной информации обратитесь к статье про [[Условная вероятность|условные вероятности]].
=== Правило Байеса. ===
Правило Байеса гласит: '''априорные шансы х соотношение условных шансов = апостериорные шансы'''.
Что для задачи про Болезнит будет выглядеть так:
<math>\dfrac{\mathbb P({sick})}{\mathbb P(healthy)} \times \dfrac{\mathbb P({blackened}\mid {sick})}{\mathbb P({blackened}\mid healthy)} = \dfrac{\mathbb P({sick}\mid {blackened})}{\mathbb P(healthy\mid {blackened})}.</math>
(прим. blackened - почерневший депрессор; sick - зараженный; healthy - здоровый)
[[Априорная вероятность|Априорные]] шансы означают соотношение больных пациентов к здоровым <math>1 : 4</math>. Превращение этих шансов в вероятности даст нам <math>\mathbb P(sick)=\frac{1}{4+1}=\frac{1}{5}=20\%</math>.
