Теорема Ауманна

Материал из Вики LessWrong.ru
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Ауманна — теорема, определяющая достаточные условия для того, чтобы апостериорные вероятности двух агентов относительного какого-либо события совпадали.

Теорема утверждает, что если между двумя агентами являются общим знанием их априорные вероятности; разбиения на множестве миров, соответствующие их постериорам; тот факт, что они оба являются идеальными рационалистами; а также постериоры некоторого события A, то эти постериоры будут совпадать.

Общее знание[править]

По определению, между двумя и более агентами существует общее знание о некотором факте, если все они знают об этом факте; а также знают, что все знают об этом факте; а также все знают, что все знают, что все знают об этом факте, и так далее до бесконечности.

Если на пространстве миров для первого агента задано разбиение «какие миры он может отличать от других» , а для второго (и при заданном реальном мире первый агент обладает знанием , а второй , то общее знание двух агентов определяется как элемент наилучшего общего огрубления этих двух разбиений, содержащих мир (обозначим его ). Допустимо также считать все надмножества общим знанием, хотя обычно рассматривается наименьшее по включению множество. При этом агенты обязаны иметь «общее знание в неформальном смысле» о разбиениях друг друга (оба агента знают, что для первого задано разбиение , а для второго ; и они знают, что оба это знают и т. д.).

Априорная и апостериорная вероятность[править]

Пусть задано вероятностное пространство . Тогда априорная вероятность события для обоих агентов равна мере этого события .

Апостериорная вероятность (вероятность при условии известной агентам информации — и соответственно) определяется по формулам и .

Постериоры первого агента будут являться общим знанием между обоими агентами, если всюду на эти постериоры будут одинаковы, то есть .

Формулировка и доказательство теоремы[править]

Пусть задано вероятностное пространство , есть два агента с разбиениями и , зафиксирован реальным мир . Пусть событие таково, что между двумя агентами есть общее знание о том, что постериоры первого равны , а постериоры второго равны . Тогда .

Доказательство. Пусть  — общее знание между Алисой и Бобом. При этом , где . Как было показано, «является общим знанием, что постериоры Алисы равны » означает, что для всех выполняется . Значит, для всех . Суммируя по всему , получаем: . Рассмотрев аналогичным образом общее знание о постериорах второго агента, получаем . Но тогда . Что и требовалось доказать.

Возникновение общего знания о постериорах[править]

Известно по меньшей мере три ситуации, при которых между агентами может возникнуть общее знание о постериорах какого-либо события.

  • Агенты могут обменяться всей имеющейся у них информацией, тогда они оба изменят свои разбиения на , и их постериоры относительно любых событий будут совпадать.
  • В некоторых особо удачных (с точки зрения выбора разбиений и события ) постериоры обоих агентов будут постоянны всюду на . В этом случае агенты, пронаблюдав каждый только и соответственно, будут автоматически обладать общим знанием о постериорах друг друга.
  • Агенты могут неявным образом обмениваться информацией, чтобы сузить изначально широкое общее знание до более узкого, используя событие в качестве опорного (причем обмен информацией возможен до тех пор, пока постериоры агентов не будут совпадать). Для этого можно использовать т. н. «стандартный протокол экономистов»:
    • вначале первый агент сообщает второму свои текущие постериоры;
    • затем второй (пользуясь знанием разбиения первого) убирает из рассмотрения все элементы , где постериоры отличались бы от названного числа, и на оставшемся множестве вычисляет свои постериоры, которые сообщает первому;
    • первый, зная, какие элементы из выкинул второй, и на каких из оставшихся элементах постеориоры второго отличались бы от названного числа, выкидывает их из рассмотрения; на оставшемся множестве вычисляет свои новые постериоры и сообщает их второму;
    • процесс повторяется до тех пор, пока не сойдется (показано, что для разбиений с конечным числом элементов это всегда произойдет); в этот момент постериоры обоих агентов станут общим знанием, и по теореме Ауманна будут совпадать.

Распространенные заблуждения о теореме Ауманна[править]

Широко известная формулировка «рационалисты не могут согласиться не соглашаться» на самом деле является загадочной (сноска: в том же смысле, как «загадочные ответы» — она дает почти ноль информации о сути теоремы).

Формулировка «если два человека не соглашаются, то по крайней мере один из них не прав» также относится не к самой теореме, а к одному из самых элементарных условий, лежащих в ее основе — существованию объективной реальности, общей для обоих агентов (его можно сформулировать так: «пусть задано вероятностное пространство , причем для обоих агентов оно совпадает»).

Т. н. «Игра Ауманна» не описывается теоремой Ауманна, так как в ней не выполняется ни одно из ключевых условий теоремы — приоры игроков не совпадают; отсутствует знание приоров других игроков; существует не одно событие, а несколько (по числу игроков); отсутствует общее знание о том, что игроки являются идеальными рационалистами; не используется «стандартный протокол экономистов» (каждый игрок называет постериоры своего события, а не одного общего).

Статьи на тему[править]

См. также[править]