Теорема Ауманна

Теорема Ауманна — теорема, определяющая достаточные условия для того, чтобы апостериорные вероятности двух агентов относительного какого-либо события совпадали.

Теорема утверждает, что если между двумя агентами являются общим знанием их априорные вероятности; разбиения на множестве миров, соответствующие их постериорам; тот факт, что они оба являются идеальными рационалистами; а также постериоры некоторого события A, то эти постериоры будут совпадать.

Общее знание

• (основная статья: Общее знание)

По определению, между двумя и более агентами существует общее знание о некотором факте, если все они знают об этом факте; а также знают, что все знают об этом факте; а также все знают, что все знают, что все знают об этом факте, и так далее до бесконечности.

Если на пространстве миров Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} для первого агента задано разбиение «какие миры он может отличать от других» Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{P}_1} , а для второго Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{P}_2} (и при заданном реальном мире Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} первый агент обладает знанием Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf P_1(\omega) \in \mathcal P_1} , а второй Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf P_2(\omega) \in \mathcal P_2} , то общее знание двух агентов определяется как элемент наилучшего общего огрубления этих двух разбиений, содержащих мир Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} (обозначим его Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2} ). Допустимо также считать все надмножества Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} общим знанием, хотя обычно рассматривается наименьшее по включению множество. При этом агенты обязаны иметь «общее знание в неформальном смысле» о разбиениях друг друга (оба агента знают, что для первого задано разбиение Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal P_1} , а для второго Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal P_2} ; и они знают, что оба это знают и т. д.).

Априорная и апостериорная вероятность

Пусть задано вероятностное пространство Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ \Omega, \mathcal B, p \}} . Тогда априорная вероятность события Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} для обоих агентов равна мере этого события Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p(A)} .

Апостериорная вероятность (вероятность при условии известной агентам информации — Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf P_1(\omega)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf P_2(\omega)} соответственно) определяется по формулам Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1 = \frac{ p( A \cap \mathbf P_1) }{ p( \mathbf P_1 ) }} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_2 = \frac{ p( A \cap \mathbf P_2) }{ p( \mathbf P_2 ) }} .

Постериоры первого агента Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1} будут являться общим знанием между обоими агентами, если всюду на Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2} эти постериоры будут одинаковы, то есть Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall i : P_1^i \subseteq P \Rightarrow \frac{ p( A \cap P_1^i ) }{ p( P_1^i ) } = q_1} .

Формулировка и доказательство теоремы

Пусть задано вероятностное пространство Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ \Omega, \mathcal B, p \}} , есть два агента с разбиениями Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal P_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal P_2} , зафиксирован реальным мир Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} . Пусть событие Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} таково, что между двумя агентами есть общее знание о том, что постериоры первого равны Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1} , а постериоры второго равны Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_2} . Тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1 = q_2} .

Доказательство. Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2}  — общее знание между Алисой и Бобом. При этом Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P = \bigcup_{i} P_1^i} , где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1^i \in \mathcal P_1} . Как было показано, «является общим знанием, что постериоры Алисы равны Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1} » означает, что для всех Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1^i} выполняется Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{ p( A \cap P_1^i ) }{ p( P_1^i ) } = q_1} . Значит, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p( A \cap P_1^i ) = q_1 \cdot p( P_1^i )} для всех Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} . Суммируя по всему Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , получаем: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p( A \cap P ) = q_1 \cdot p( P )} . Рассмотрев аналогичным образом общее знание о постериорах второго агента, получаем Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p( A \cap P ) = q_2 \cdot p( P )} . Но тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_1 = q_2} . Что и требовалось доказать.

Возникновение общего знания о постериорах

Известно по меньшей мере три ситуации, при которых между агентами может возникнуть общее знание о постериорах какого-либо события.

• Агенты могут обменяться всей имеющейся у них информацией, тогда они оба изменят свои разбиения на Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal P_1 \vee \mathcal P_2} , и их постериоры относительно любых событий будут совпадать.
• В некоторых особо удачных (с точки зрения выбора разбиений и события Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} ) постериоры обоих агентов будут постоянны всюду на Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} . В этом случае агенты, пронаблюдав каждый только Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf P_1(\omega)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf P_2(\omega)} соответственно, будут автоматически обладать общим знанием о постериорах друг друга.
• Агенты могут неявным образом обмениваться информацией, чтобы сузить изначально широкое общее знание до более узкого, используя событие Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} в качестве опорного (причем обмен информацией возможен до тех пор, пока постериоры агентов не будут совпадать). Для этого можно использовать т. н. «стандартный протокол экономистов»:
  • вначале первый агент сообщает второму свои текущие постериоры;
  • затем второй (пользуясь знанием разбиения первого) убирает из рассмотрения все элементы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal P_1} , где постериоры отличались бы от названного числа, и на оставшемся множестве вычисляет свои постериоры, которые сообщает первому;
  • первый, зная, какие элементы из Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal P_1} выкинул второй, и на каких из оставшихся элементах Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal P_2} постеориоры второго отличались бы от названного числа, выкидывает их из рассмотрения; на оставшемся множестве вычисляет свои новые постериоры и сообщает их второму;
  • процесс повторяется до тех пор, пока не сойдется (показано, что для разбиений с конечным числом элементов это всегда произойдет); в этот момент постериоры обоих агентов станут общим знанием, и по теореме Ауманна будут совпадать.

Распространенные заблуждения о теореме Ауманна

Широко известная формулировка «рационалисты не могут согласиться не соглашаться» на самом деле является загадочной (сноска: в том же смысле, как «загадочные ответы» — она дает почти ноль информации о сути теоремы).

Формулировка «если два человека не соглашаются, то по крайней мере один из них не прав» также относится не к самой теореме, а к одному из самых элементарных условий, лежащих в ее основе — существованию объективной реальности, общей для обоих агентов (его можно сформулировать так: «пусть задано вероятностное пространство Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ \Omega, \mathcal B, p \}} , причем для обоих агентов оно совпадает»).

Т. н. «Игра Ауманна» не описывается теоремой Ауманна, так как в ней не выполняется ни одно из ключевых условий теоремы — приоры игроков не совпадают; отсутствует знание приоров других игроков; существует не одно событие, а несколько (по числу игроков); отсутствует общее знание о том, что игроки являются идеальными рационалистами; не используется «стандартный протокол экономистов» (каждый игрок называет постериоры своего события, а не одного общего).

Статьи по теме

• Agreeing to disagree — оригинальная статья Роберта Ауманна
• Общее знание и теорема Ауманна — статья Скотта Ааронсона
• Теорема Ауманна о согласии: согласие ни при чем (ч.1) — популярная статья об общем знании и теореме Ауманна
• Теорема Ауманна о согласи, ч.2: доказательство, обобщения и интерпретации — большая монография о теореме Ауманна на русском
• Что говорит, и чего не говорит теорема Ауманна — о наивной интерпретации теоремы Ауманна

См. также

• Общее знание
• Игра Ауманна о согласии