Теорема Ауманна

Теорема Ауманна — теорема, определяющая достаточные условия для того, чтобы апостериорные вероятности двух агентов относительного какого-либо события совпадали.

Теорема утверждает, что если между двумя агентами являются общим знанием их априорные вероятности; разбиения на множестве миров, соответствующие их постериорам; тот факт, что они оба являются идеальными рационалистами; а также постериоры некоторого события A, то эти постериоры будут совпадать.

Общее знание

• (основная статья: Общее знание)

По определению, между двумя и более агентами существует общее знание о некотором факте, если все они знают об этом факте; а также знают, что все знают об этом факте; а также все знают, что все знают, что все знают об этом факте, и так далее до бесконечности.

Если на пространстве миров $\Omega$ для первого агента задано разбиение «какие миры он может отличать от других» ${\mathcal {P}}_{1}$, а для второго ${\mathcal {P}}_{2}$ (и при заданном реальном мире $\omega$ первый агент обладает знанием $\mathbf {P} _{1}(\omega )\in {\mathcal {P}}_{1}$, а второй $\mathbf {P} _{2}(\omega )\in {\mathcal {P}}_{2}$, то общее знание двух агентов определяется как элемент наилучшего общего огрубления этих двух разбиений, содержащих мир $\omega$ (обозначим его $P\in {\mathcal {P}}_{1}\wedge {\mathcal {P}}_{2}$). Допустимо также считать все надмножества $P$ общим знанием, хотя обычно рассматривается наименьшее по включению множество. При этом агенты обязаны иметь «общее знание в неформальном смысле» о разбиениях друг друга (оба агента знают, что для первого задано разбиение ${\mathcal {P}}_{1}$, а для второго ${\mathcal {P}}_{2}$; и они знают, что оба это знают и т. д.).

Априорная и апостериорная вероятность

Пусть задано вероятностное пространство $\{\Omega ,{\mathcal {B}},p\}$. Тогда априорная вероятность события $A$ для обоих агентов равна мере этого события $p(A)$.

Апостериорная вероятность (вероятность при условии известной агентам информации — $\mathbf {P} _{1}(\omega )$ и $\mathbf {P} _{2}(\omega )$ соответственно) определяется по формулам $q_{1}={\frac {p(A\cap \mathbf {P} _{1})}{p(\mathbf {P} _{1})}}$ и $q_{2}={\frac {p(A\cap \mathbf {P} _{2})}{p(\mathbf {P} _{2})}}$.

Постериоры первого агента $q_{1}$ будут являться общим знанием между обоими агентами, если всюду на $P\in {\mathcal {P}}_{1}\wedge {\mathcal {P}}_{2}$ эти постериоры будут одинаковы, то есть $\forall i:P_{1}^{i}\subseteq P\Rightarrow {\frac {p(A\cap P_{1}^{i})}{p(P_{1}^{i})}}=q_{1}$.

Формулировка и доказательство теоремы

Пусть задано вероятностное пространство $\{\Omega ,{\mathcal {B}},p\}$, есть два агента с разбиениями ${\mathcal {P}}_{1}$ и ${\mathcal {P}}_{2}$, зафиксирован реальным мир $\omega$. Пусть событие $A$ таково, что между двумя агентами есть общее знание о том, что постериоры первого равны $q_{1}$, а постериоры второго равны $q_{2}$. Тогда $q_{1}=q_{2}$.

Доказательство. Пусть $P\in {\mathcal {P}}_{1}\wedge {\mathcal {P}}_{2}$ — общее знание между Алисой и Бобом. При этом $P=\bigcup _{i}P_{1}^{i}$, где $P_{1}^{i}\in {\mathcal {P}}_{1}$. Как было показано, «является общим знанием, что постериоры Алисы равны $q_{1}$» означает, что для всех $P_{1}^{i}$ выполняется ${\frac {p(A\cap P_{1}^{i})}{p(P_{1}^{i})}}=q_{1}$. Значит, $p(A\cap P_{1}^{i})=q_{1}\cdot p(P_{1}^{i})$ для всех $i$. Суммируя по всему $P$, получаем: $p(A\cap P)=q_{1}\cdot p(P)$. Рассмотрев аналогичным образом общее знание о постериорах второго агента, получаем $p(A\cap P)=q_{2}\cdot p(P)$. Но тогда $q_{1}=q_{2}$. Что и требовалось доказать.

Возникновение общего знания о постериорах

Известно по меньшей мере три ситуации, при которых между агентами может возникнуть общее знание о постериорах какого-либо события.

• Агенты могут обменяться всей имеющейся у них информацией, тогда они оба изменят свои разбиения на ${\mathcal {P}}_{1}\vee {\mathcal {P}}_{2}$, и их постериоры относительно любых событий будут совпадать.
• В некоторых особо удачных (с точки зрения выбора разбиений и события $A$) постериоры обоих агентов будут постоянны всюду на $P$. В этом случае агенты, пронаблюдав каждый только $\mathbf {P} _{1}(\omega )$ и $\mathbf {P} _{2}(\omega )$ соответственно, будут автоматически обладать общим знанием о постериорах друг друга.
• Агенты могут неявным образом обмениваться информацией, чтобы сузить изначально широкое общее знание до более узкого, используя событие $A$ в качестве опорного (причем обмен информацией возможен до тех пор, пока постериоры агентов не будут совпадать). Для этого можно использовать т. н. «стандартный протокол экономистов»:
  • вначале первый агент сообщает второму свои текущие постериоры;
  • затем второй (пользуясь знанием разбиения первого) убирает из рассмотрения все элементы ${\mathcal {P}}_{1}$, где постериоры отличались бы от названного числа, и на оставшемся множестве вычисляет свои постериоры, которые сообщает первому;
  • первый, зная, какие элементы из ${\mathcal {P}}_{1}$ выкинул второй, и на каких из оставшихся элементах ${\mathcal {P}}_{2}$ постеориоры второго отличались бы от названного числа, выкидывает их из рассмотрения; на оставшемся множестве вычисляет свои новые постериоры и сообщает их второму;
  • процесс повторяется до тех пор, пока не сойдется (показано, что для разбиений с конечным числом элементов это всегда произойдет); в этот момент постериоры обоих агентов станут общим знанием, и по теореме Ауманна будут совпадать.

Распространенные заблуждения о теореме Ауманна

Широко известная формулировка «рационалисты не могут согласиться не соглашаться» на самом деле является загадочной (сноска: в том же смысле, как «загадочные ответы» — она дает почти ноль информации о сути теоремы).

Формулировка «если два человека не соглашаются, то по крайней мере один из них не прав» также относится не к самой теореме, а к одному из самых элементарных условий, лежащих в ее основе — существованию объективной реальности, общей для обоих агентов (его можно сформулировать так: «пусть задано вероятностное пространство $\{\Omega ,{\mathcal {B}},p\}$, причем для обоих агентов оно совпадает»).

Т. н. «Игра Ауманна» не описывается теоремой Ауманна, так как в ней не выполняется ни одно из ключевых условий теоремы — приоры игроков не совпадают; отсутствует знание приоров других игроков; существует не одно событие, а несколько (по числу игроков); отсутствует общее знание о том, что игроки являются идеальными рационалистами; не используется «стандартный протокол экономистов» (каждый игрок называет постериоры своего события, а не одного общего).

Статьи по теме

• Agreeing to disagree — оригинальная статья Роберта Ауманна
• Общее знание и теорема Ауманна — статья Скотта Ааронсона
• Теорема Ауманна о согласии: согласие ни при чем (ч.1) — популярная статья об общем знании и теореме Ауманна
• Теорема Ауманна о согласи, ч.2: доказательство, обобщения и интерпретации — большая монография о теореме Ауманна на русском
• Что говорит, и чего не говорит теорема Ауманна — о наивной интерпретации теоремы Ауманна

См. также

• Общее знание
• Игра Ауманна о согласии