Правило Байеса: шансы

В одной из формулировок байесовское правило выглядит так: априорные шансы х соотношение условных шансов = апостериорные шансы.

Если мы рассмотрим водопадную визуализацию проблемы с Болезнитом, то будет наглядно видно, как относительные шансы помогают думать про два потока на вершине водопада.

• 

Пропорциональное соотношение воды из красного потока к воде из синего будет тем же, независимо от того идет ли речь 200 и 800 литрах в секунду или о 20 000 и 80 000 литрах в секунду илл о 1 и 4 л/с. Пока и остальная часть водопада способствует сохранению пропорции, мы будем получать такую же пропорцию красной и синей воды внизу. Таким образом мы вполне оправданно можем игнорировать количество воды и рассматривать лишь пропорции.

Точно так же, важно пропорциональное соотношение между количеством попадающей в фиолетовый водоем воды из красного потока к количеству из синего, и соотношение между количеством молекул из каждого литра. Вниз падает 45% и 15% красной и синей воды и точно такое же соотношение между красной и синей водой внизу - 90% и 30%.

• 

И это оправдывает игнорирование специфической информации о том что 90% красной воды падает вниз и 30% синей падает вниз, ведь это можно легко заменить соотношением (3 : 1).

Это можно применить и для других проблем: предположим, что у нас есть медицинский тест, выявляющий болезнь с истинноположительной точностью в 90% (10% ложноотрицательных) и 30% ложноположительных (70% ложноотрицательных). Положительный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 60% истинноположительными и 20% ложноположительными. А отрицательный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 9% ложноотрицательных и 63% истинноотрицательных.

В целом, сила свидетельства является соотношением того, насколько более/менее вероятными разные возможные состояния мира способствуют наблюдению специфических феноменов. Но об этом позже.

Уравнение

Чтобы действительно выразить ТБ в формулах и доказать ее, нам потребуется ввести несколько новых обозначений.

Условная вероятность

Во-первых, если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} это утверждение, то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(X)} это вероятность Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X.}

Другими словами: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} это что-то истинное или ложное в действительности, но у нас есть какая-то неопределенность по этому поводу, и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(X)} - это способ выразить уровень нашей убежденности в том, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} истинно. Пациент, на самом деле, либо болен либо здоров, но если вы не уверены, свидетельство может способствовать сдвигу субъективной вероятности к 43% в пользу того, что он болен.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb \neg X} означает "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} ложно", так что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(\neg X)} означает "вероятность, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} ложно".

Задача про Болезнит включала больше утверждений посложней, например:

• Вероятность в 90%, что у пациента почернеет депрессор, при условии что он заражен.
• Вероятность в 30%, что у пациента почернеет депрессор, при условии что он здоров.
• Вероятность в 3/7, что пациент заражен, при условии, что его депрессор почернел.

•