264
правки
Изменения
Новая страница: «'''Теорема Ауманна''' — теорема, определяющая достаточные условия для того, чтобы апостер…»
'''Теорема Ауманна''' — теорема, определяющая достаточные условия для того, чтобы апостериорные [[Вероятность|вероятности]] двух [[агент]]ов относительного какого-либо события совпадали.
Теорема утверждает, что если между двумя агентами являются общим знанием их априорные вероятности; разбиения на множестве миров, соответствующие их постериорам; тот факт, что они оба являются идеальными рационалистами; а также постериоры некоторого события A, то эти постериоры будут совпадать.
== Общее знание ==
* (основная статья: [[Общее знание]])
По определению, между двумя и более агентами существует '''общее знание''' о некотором факте, если все они знают об этом факте; а также знают, что все знают об этом факте; а также все знают, что все знают, что все знают об этом факте, и так далее до бесконечности.
Если на пространстве миров <math>\Omega</math> для первого агента задано разбиение «какие миры он может отличать от других» <math>\mathcal{P}_1</math>, а для второго <math>\mathcal{P}_2</math> (и при заданном реальном мире <math>\omega</math> первый агент обладает знанием <math>\mathbf P_1(\omega) \in \mathcal P_1</math>, а второй <math>\mathbf P_2(\omega) \in \mathcal P_2</math>, то общее знание двух агентов определяется как элемент наилучшего общего огрубления этих двух разбиений, содержащих мир <math>\omega</math> (обозначим его <math>P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2</math>). Допустимо также считать все надмножества <math>P</math> общим знанием, хотя обычно рассматривается наименьшее по включению множество. При этом агенты обязаны иметь «общее знание в неформальном смысле» о разбиениях друг друга (оба агента знают, что для первого задано разбиение <math>\mathcal P_1</math>, а для второго <math>\mathcal P_2</math>; и они знают, что оба это знают и т. д.).
== Априорная и апостериорная вероятность ==
Пусть задано вероятностное пространство <math>\{ \Omega, \mathcal B, p \}</math>. Тогда априорная вероятность события <math>A</math> для обоих агентов равна мере этого события <math>p(A)</math>.
Апостериорная вероятность (вероятность при условии известной агентам информации — <math>\mathbf P_1(\omega)</math> и <math>\mathbf P_2(\omega)</math> соответственно) определяется по формулам <math>q_1 = \frac{ p( A \cap \mathbf P_1) }{ p( \mathbf P_1 ) }</math> и <math>q_2 = \frac{ p( A \cap \mathbf P_2) }{ p( \mathbf P_2 ) }</math>.
Постериоры первого агента <math>q_1</math> будут являться общим знанием между обоими агентами, если всюду на <math>P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2</math> эти постериоры будут одинаковы, то есть <math>\forall i : P_1^i \subseteq P \Rightarrow \frac{ p( A \cap P_1^i ) }{ p( P_1^i ) } = q_1</math>.
== Формулировка и доказательство теоремы ==
Пусть задано вероятностное пространство <math>\{ \Omega, \mathcal B, p \}</math>, есть два агента с разбиениями <math>\mathcal P_1</math> и <math>\mathcal P_2</math>, зафиксирован реальным мир <math>\omega</math>. Пусть событие <math>A</math> таково, что между двумя агентами есть общее знание о том, что постериоры первого равны <math>q_1</math>, а постериоры второго равны <math>q_2</math>. Тогда <math>q_1 = q_2</math>.
'''Доказательство'''. Пусть <math>P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2</math> — общее знание между Алисой и Бобом. При этом <math>P = \bigcup_{i} P_1^i</math>, где <math>P_1^i \in \mathcal P_1</math>. Как было показано, «является общим знанием, что постериоры Алисы равны <math>q_1</math>» означает, что для всех <math>P_1^i</math> выполняется <math>\frac{ p( A \cap P_1^i ) }{ p( P_1^i ) } = q_1</math>. Значит, <math>p( A \cap P_1^i ) = q_1 \cdot p( P_1^i )</math> для всех <math>i</math>. Суммируя по всему <math>P</math>, получаем: <math>p( A \cap P ) = q_1 \cdot p( P )</math>. Рассмотрев аналогичным образом общее знание о постериорах второго агента, получаем <math>p( A \cap P ) = q_2 \cdot p( P )</math>. Но тогда <math>q_1 = q_2</math>. Что и требовалось доказать.
== Возникновение общего знания о постериорах ==
Известно по меньшей мере три ситуации, при которых между агентами может возникнуть общее знание о постериорах какого-либо события.
* Агенты могут обменяться всей имеющейся у них информацией, тогда они оба изменят свои разбиения на <math>\mathcal P_1 \vee \mathcal P_2</math>, и их постериоры относительно любых событий будут совпадать.
* Агенты могут использовать т. н. «стандартный протокол экономистов»:
** вначале первый агент сообщает второму свои текущие постериоры;
** затем второй (пользуясь знанием разбиения первого) убирает из рассмотрения все элементы <math>\mathcal P_1</math>, где постериоры отличались бы от названного числа, и на оставшемся множестве вычисляет свои постериоры, которые сообщает первому;
** первый, зная, какие элементы из <math>\mathcal P_1</math> выкинул второй, и на каких из оставшихся элементах <math>\mathcal P_2</math> постеориоры второго отличались бы от названного числа, выкидывает их из рассмотрения; на оставшемся множестве вычисляет свои новые постериоры и сообщает их второму;
** процесс повторяется до тех пор, пока не сойдется (показано, что для разбиений с конечным числом элементов это всегда произойдет); в этот момент постериоры обоих агентов станут общим знанием, и по теореме Ауманна будут совпадать.
* В некоторых особо удачных (с точки зрения выбора разбиений и события <math>A</math>) постериоры обоих агентов будут постоянны всюду на <math>P</math>. В этом случае агенты, пронаблюдав каждый только <math>\mathbf P_1(\omega)</math> и <math>\mathbf P_2(\omega)</math> соответственно, будут автоматически обладать общим знанием о постериорах друг друга.
== Распространенные заблуждения о теореме Ауманна ==
Широко известная формулировка «рационалисты не могут согласиться не соглашаться» на самом деле является загадочной (сноска: в том же смысле, как «загадочные ответы» — она дает почти ноль информации о сути теоремы).
Формулировка «если два человека не соглашаются, то по крайней мере один из них не прав» также относится не к самой теореме, а к одному из самых элементарных условий, лежащих в ее основе — существованию объективной реальности, общей для обоих агентов (его можно сформулировать так: «пусть задано вероятностное пространство <math>\{ \Omega, \mathcal B, p \}</math>, причем для обоих агентов оно совпадает»).
Т. н. «Игра Ауманна» не описывается теоремой Ауманна, так как в ней не выполняется ни одно из ключевых условий теоремы — приоры игроков не совпадают; отсутствует знание приоров других игроков; существует не одно событие, а несколько (по числу игроков); отсутствует общее знание о том, что игроки являются идеальными рационалистами; не используется «стандартный протокол экономистов» (каждый игрок называет постериоры своего события, а не одного общего).
== Статьи на тему ==
* [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aos/1176343654 Agreeing to disagree] — оригинальная статья Роберта Ауманна
* [https://brights-russia.org/article/common-knowledge-and-aumanns-theorem.html Общее знание и теорема Ауманна] — статья Скотта Ааронсона
* [https://telegra.ph/Teorema-Aumanna-o-soglasii-soglasie-ni-pri-chem-ch1-04-09 Теорема Ауманна о согласии: согласие ни при чем (ч.1)] — популярная статья об общем знании и теореме Ауманна
* [https://www.notion.so/reverendbayes/2-21620889bead4805a1285cf795380bf0 Теорема Ауманна о согласи, ч.2: доказательство, обобщения и интерпретации] — большая монография о теореме Ауманна на русском
* [https://telegra.ph/CHto-govorit-i-chego-ne-govorit-teorema-Aumanna-10-30 Что говорит, и чего не говорит теорема Ауманна] — о наивной интерпретации теоремы Ауманна
== См. также ==
* [[Общее знание]]
* [[Игра Ауманна о согласии]]
[[Категория:Понятия]]
[[Категория:Теория вероятностей]]
Теорема утверждает, что если между двумя агентами являются общим знанием их априорные вероятности; разбиения на множестве миров, соответствующие их постериорам; тот факт, что они оба являются идеальными рационалистами; а также постериоры некоторого события A, то эти постериоры будут совпадать.
== Общее знание ==
* (основная статья: [[Общее знание]])
По определению, между двумя и более агентами существует '''общее знание''' о некотором факте, если все они знают об этом факте; а также знают, что все знают об этом факте; а также все знают, что все знают, что все знают об этом факте, и так далее до бесконечности.
Если на пространстве миров <math>\Omega</math> для первого агента задано разбиение «какие миры он может отличать от других» <math>\mathcal{P}_1</math>, а для второго <math>\mathcal{P}_2</math> (и при заданном реальном мире <math>\omega</math> первый агент обладает знанием <math>\mathbf P_1(\omega) \in \mathcal P_1</math>, а второй <math>\mathbf P_2(\omega) \in \mathcal P_2</math>, то общее знание двух агентов определяется как элемент наилучшего общего огрубления этих двух разбиений, содержащих мир <math>\omega</math> (обозначим его <math>P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2</math>). Допустимо также считать все надмножества <math>P</math> общим знанием, хотя обычно рассматривается наименьшее по включению множество. При этом агенты обязаны иметь «общее знание в неформальном смысле» о разбиениях друг друга (оба агента знают, что для первого задано разбиение <math>\mathcal P_1</math>, а для второго <math>\mathcal P_2</math>; и они знают, что оба это знают и т. д.).
== Априорная и апостериорная вероятность ==
Пусть задано вероятностное пространство <math>\{ \Omega, \mathcal B, p \}</math>. Тогда априорная вероятность события <math>A</math> для обоих агентов равна мере этого события <math>p(A)</math>.
Апостериорная вероятность (вероятность при условии известной агентам информации — <math>\mathbf P_1(\omega)</math> и <math>\mathbf P_2(\omega)</math> соответственно) определяется по формулам <math>q_1 = \frac{ p( A \cap \mathbf P_1) }{ p( \mathbf P_1 ) }</math> и <math>q_2 = \frac{ p( A \cap \mathbf P_2) }{ p( \mathbf P_2 ) }</math>.
Постериоры первого агента <math>q_1</math> будут являться общим знанием между обоими агентами, если всюду на <math>P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2</math> эти постериоры будут одинаковы, то есть <math>\forall i : P_1^i \subseteq P \Rightarrow \frac{ p( A \cap P_1^i ) }{ p( P_1^i ) } = q_1</math>.
== Формулировка и доказательство теоремы ==
Пусть задано вероятностное пространство <math>\{ \Omega, \mathcal B, p \}</math>, есть два агента с разбиениями <math>\mathcal P_1</math> и <math>\mathcal P_2</math>, зафиксирован реальным мир <math>\omega</math>. Пусть событие <math>A</math> таково, что между двумя агентами есть общее знание о том, что постериоры первого равны <math>q_1</math>, а постериоры второго равны <math>q_2</math>. Тогда <math>q_1 = q_2</math>.
'''Доказательство'''. Пусть <math>P \in \mathcal P_1 \wedge \mathcal P_2</math> — общее знание между Алисой и Бобом. При этом <math>P = \bigcup_{i} P_1^i</math>, где <math>P_1^i \in \mathcal P_1</math>. Как было показано, «является общим знанием, что постериоры Алисы равны <math>q_1</math>» означает, что для всех <math>P_1^i</math> выполняется <math>\frac{ p( A \cap P_1^i ) }{ p( P_1^i ) } = q_1</math>. Значит, <math>p( A \cap P_1^i ) = q_1 \cdot p( P_1^i )</math> для всех <math>i</math>. Суммируя по всему <math>P</math>, получаем: <math>p( A \cap P ) = q_1 \cdot p( P )</math>. Рассмотрев аналогичным образом общее знание о постериорах второго агента, получаем <math>p( A \cap P ) = q_2 \cdot p( P )</math>. Но тогда <math>q_1 = q_2</math>. Что и требовалось доказать.
== Возникновение общего знания о постериорах ==
Известно по меньшей мере три ситуации, при которых между агентами может возникнуть общее знание о постериорах какого-либо события.
* Агенты могут обменяться всей имеющейся у них информацией, тогда они оба изменят свои разбиения на <math>\mathcal P_1 \vee \mathcal P_2</math>, и их постериоры относительно любых событий будут совпадать.
* Агенты могут использовать т. н. «стандартный протокол экономистов»:
** вначале первый агент сообщает второму свои текущие постериоры;
** затем второй (пользуясь знанием разбиения первого) убирает из рассмотрения все элементы <math>\mathcal P_1</math>, где постериоры отличались бы от названного числа, и на оставшемся множестве вычисляет свои постериоры, которые сообщает первому;
** первый, зная, какие элементы из <math>\mathcal P_1</math> выкинул второй, и на каких из оставшихся элементах <math>\mathcal P_2</math> постеориоры второго отличались бы от названного числа, выкидывает их из рассмотрения; на оставшемся множестве вычисляет свои новые постериоры и сообщает их второму;
** процесс повторяется до тех пор, пока не сойдется (показано, что для разбиений с конечным числом элементов это всегда произойдет); в этот момент постериоры обоих агентов станут общим знанием, и по теореме Ауманна будут совпадать.
* В некоторых особо удачных (с точки зрения выбора разбиений и события <math>A</math>) постериоры обоих агентов будут постоянны всюду на <math>P</math>. В этом случае агенты, пронаблюдав каждый только <math>\mathbf P_1(\omega)</math> и <math>\mathbf P_2(\omega)</math> соответственно, будут автоматически обладать общим знанием о постериорах друг друга.
== Распространенные заблуждения о теореме Ауманна ==
Широко известная формулировка «рационалисты не могут согласиться не соглашаться» на самом деле является загадочной (сноска: в том же смысле, как «загадочные ответы» — она дает почти ноль информации о сути теоремы).
Формулировка «если два человека не соглашаются, то по крайней мере один из них не прав» также относится не к самой теореме, а к одному из самых элементарных условий, лежащих в ее основе — существованию объективной реальности, общей для обоих агентов (его можно сформулировать так: «пусть задано вероятностное пространство <math>\{ \Omega, \mathcal B, p \}</math>, причем для обоих агентов оно совпадает»).
Т. н. «Игра Ауманна» не описывается теоремой Ауманна, так как в ней не выполняется ни одно из ключевых условий теоремы — приоры игроков не совпадают; отсутствует знание приоров других игроков; существует не одно событие, а несколько (по числу игроков); отсутствует общее знание о том, что игроки являются идеальными рационалистами; не используется «стандартный протокол экономистов» (каждый игрок называет постериоры своего события, а не одного общего).
== Статьи на тему ==
* [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aos/1176343654 Agreeing to disagree] — оригинальная статья Роберта Ауманна
* [https://brights-russia.org/article/common-knowledge-and-aumanns-theorem.html Общее знание и теорема Ауманна] — статья Скотта Ааронсона
* [https://telegra.ph/Teorema-Aumanna-o-soglasii-soglasie-ni-pri-chem-ch1-04-09 Теорема Ауманна о согласии: согласие ни при чем (ч.1)] — популярная статья об общем знании и теореме Ауманна
* [https://www.notion.so/reverendbayes/2-21620889bead4805a1285cf795380bf0 Теорема Ауманна о согласи, ч.2: доказательство, обобщения и интерпретации] — большая монография о теореме Ауманна на русском
* [https://telegra.ph/CHto-govorit-i-chego-ne-govorit-teorema-Aumanna-10-30 Что говорит, и чего не говорит теорема Ауманна] — о наивной интерпретации теоремы Ауманна
== См. также ==
* [[Общее знание]]
* [[Игра Ауманна о согласии]]
[[Категория:Понятия]]
[[Категория:Теория вероятностей]]