Условная вероятность — различия между версиями
Muyyd (обсуждение | вклад) |
м (Добавил новый шаблон Arbital, прогнал викификатор) |
||
| (не показаны 2 промежуточные версии 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | {{Arbital|conditional_probability|Conditional probability}} | |
| − | ''P( | + | '''Условная вероятность''' <math>{P}(X\mid Y)</math> читается как «[[Вероятность]] <math>X</math> с учетом <math>Y</math>». Что означает «Вероятность что <math>X</math> истинно, с учетом что <math>Y</math> истинно». |
| − | ''P(банан|желтый)'' | + | ''P(желтый|банан)'' — вероятность того, что банан желтый. Если мы знаем, что это банан, то какова вероятность того, что он желтого цвета? |
| + | |||
| + | ''P(банан|желтый)'' — вероятность того, что желтая штука — это банан. То есть если в правой стороне написано ''желтый'', то мы задаем вопрос относительно левой стороны: «какова вероятность что ''банан''»? | ||
Понимать формулы условных вероятностей и не путать ''P(желтый|банан)'' и ''P(банан|желтый)'' важно для понимания терминов [[отношение правдоподобия]] и [[свидетельство]]. | Понимать формулы условных вероятностей и не путать ''P(желтый|банан)'' и ''P(банан|желтый)'' важно для понимания терминов [[отношение правдоподобия]] и [[свидетельство]]. | ||
==== Определение ==== | ==== Определение ==== | ||
| − | Для вычисления <math> P(left \mid right)</math> мы сосредоточиваем внимание лишь на тех случаях, когда <math>right</math> истинно, и интересуемся случаями внутри <math>right</math>, где <math>left</math> | + | Для вычисления <math> P(left \mid right)</math> мы сосредоточиваем внимание лишь на тех случаях, когда <math>right</math> истинно, и интересуемся случаями внутри <math>right</math>, где <math>left</math> тоже истинно. |
| − | Предположим, что <math>X \wedge Y</math>читается как | + | Предположим, что <math>X \wedge Y</math>читается как «<math>X</math> и <math>Y</math>» или же «<math>X</math> и <math>Y</math> оба истинны». Тогда <math> P(left \mid right) = \dfrac{\mathbb P(left \wedge right)}{\mathbb P(right)}</math>. Можно рассматривать это, как если бы мы «приближали» лишь случаи, где <math>right</math> истинно, и спрашивали бы «внутри» этого мира, в каких случаях «<math>right</math> и <math>left</math> оба истинны». |
| − | ==== Пример | + | ==== Пример 1 — красные и синие объекты ==== |
| − | Предположим, что у вас есть мешок с объектами, которые либо красные либо синие, либо круглые либо квадратные. Их количество задается таблицей: | + | Предположим, что у вас есть мешок с объектами, которые либо красные либо синие, либо круглые либо квадратные. Их количество задается таблицей: |
{| class="wikitable" border="1" | {| class="wikitable" border="1" | ||
|- | |- | ||
| − | ! | + | ! |
! красные (red) | ! красные (red) | ||
! синие (blue) | ! синие (blue) | ||
| Строка 37: | Строка 39: | ||
</gallery> | </gallery> | ||
| − | ==== Пример | + | ==== Пример 2 — рыжий волос ==== |
| − | Предположим, что | + | Предположим, что вы — Шерлок Холмс, расследующий дело об убийстве и на месте преступления вы нашли рыжий волос. |
| − | |||
| − | |||
| − | + | Ведущий это дело детектив Скотланд Ярда говорит: «Ага! Это сделала мисс Скарлет. У нее рыжие волосы, так что если это она убила, то наверняка остался бы рыжий волос. ''Р(рыжий|Скарлет)=99 %'', что позволяет нам почти абсолютную уверенность, так что тут мы, считай, закончили». | |
| − | " | + | "Погодите, " отвечает Холмс, «видите ли, вы некорректно интерпретируете отношения условных вероятностей, детектив. Для изменения нашей уверенности нам нужно не ''Р(рыжий|Скарлет)'', то есть шанс, с которым у мисс Скарлет можно обнаружить рыжий волос, но ''Р(Скарлет|рыжий)'', то есть шанс с которым рыжий волос будет оставлен именно Скарлет. В городе есть и другие люди, у которых вполне возможно рыжие волосы». |
| − | + | «Значит вы утверждаете…» — медленно произнес детектив, «что ''Р(рыжий|Скарлет)'' намного меньше чем 1?» | |
| − | + | «Нет же, детектив. Я говорю, что из того что вероятность ''Р(рыжий|Скарлет)'' высока, не следует что ''Р(Скарлет|рыжий)'' так же высока. Именно вторая и является предметом нашего интереса: как мы, '''зная''' о рыжем волосе на месте преступления, '''выводим''', что убийца — мисс Скарлет. И это значение отличается от того, как мы, '''предполагая''' что убийца — мисс Скарлет, '''выводим''', что она оставила рыжий волос». | |
| − | + | «Но не могут же эти вероятности быть совершенно несвязанными?» | |
| − | + | «Ну, а для этого и нужна [[Теорема Байеса]]». | |
| − | — В любом случае, | + | ==== Пример 3 — слизеринцы и темные волшебники ==== |
| + | — В любом случае, — быстро перебил Драко, — это не имеет отношения к делу, мистер Хагрид. Хотя… — Драко задумался, пытаясь перевести разницу между вероятностью для слизеринца стать Тёмным и вероятностью Тёмного оказаться слизеринцем на ненаучный язык. — Хотя большинство Тёмных волшебников — слизеринцы, лишь немногие из слизеринцев — Тёмные волшебники. А поскольку Тёмных волшебников не так уж и много, ими не могут быть все слизеринцы, — или, как говорил отец, любой Малфой, безусловно, должен владеть многими из тайных искусств, но наиболее… затратные ритуалы лучше оставить полезным глупцам вроде Амикуса Кэрроу. | ||
| − | — Так ты гришь, | + | — Так ты гришь, — произнёс Хагрид, — что большинство Тёмных волшебников — слизеринцы… но… |
| − | — Но большинство | + | — Но большинство слизеринцев — не Тёмные волшебники, — закончил Драко. У него появилось нехорошее предчувствие, что на этой части объяснения они застрянут, но, как и в сражении с гидрой, главным было не сдаваться. |
| − | Гарри Поттер и методы рационального мышления | + | Гарри Поттер и методы рационального мышления |
Глава 100. Меры предосторожности. Часть 1 | Глава 100. Меры предосторожности. Часть 1 | ||
=== Статьи по теме === | === Статьи по теме === | ||
* [https://arbital.com/p/conditional_probability/ Conditional probability (arbital)] | * [https://arbital.com/p/conditional_probability/ Conditional probability (arbital)] | ||
| − | * [[lwru:/ | + | * [[lwru:/Что такое свидетельство|Что такое свидетельство]] |
| − | [[Категория: | + | [[Категория:Понятия]][[Категория:Теория вероятностей]] |
Текущая версия на 19:01, 12 ноября 2023
Условная вероятность Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {P}(X\mid Y)} читается как «Вероятность Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} с учетом Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} ». Что означает «Вероятность что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} истинно, с учетом что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} истинно».
P(желтый|банан) — вероятность того, что банан желтый. Если мы знаем, что это банан, то какова вероятность того, что он желтого цвета?
P(банан|желтый) — вероятность того, что желтая штука — это банан. То есть если в правой стороне написано желтый, то мы задаем вопрос относительно левой стороны: «какова вероятность что банан»?
Понимать формулы условных вероятностей и не путать P(желтый|банан) и P(банан|желтый) важно для понимания терминов отношение правдоподобия и свидетельство.
Содержание
Определение[править]
Для вычисления Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(left \mid right)} мы сосредоточиваем внимание лишь на тех случаях, когда Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle right} истинно, и интересуемся случаями внутри Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle right} , где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle left} тоже истинно.
Предположим, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X \wedge Y} читается как «Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} » или же «Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} оба истинны». Тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(left \mid right) = \dfrac{\mathbb P(left \wedge right)}{\mathbb P(right)}} . Можно рассматривать это, как если бы мы «приближали» лишь случаи, где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle right} истинно, и спрашивали бы «внутри» этого мира, в каких случаях «Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle right} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle left} оба истинны».
Пример 1 — красные и синие объекты[править]
Предположим, что у вас есть мешок с объектами, которые либо красные либо синие, либо круглые либо квадратные. Их количество задается таблицей:
| красные (red) | синие (blue) | |
|---|---|---|
| Квадратные (Square) | 1 | 2 |
| Круглые (Round) | 3 | 4 |
Если вы, засунули руку в мешок, нащупали круглый объект, то условная вероятность того, что он красный, определяется с помощью приближения лишь круглых объектов, и вопроса о частоте объектов одновременно красных и круглых внутри приближенного пространства: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(red\mid round) = \dfrac{\mathbb P(red \wedge round)}{\mathbb P(round)} = \dfrac{3}{3 + 4} = \dfrac{3}{7}}
Если вы заглянули в мешок и увидели сверху синий объект, но не разглядели форму, то вычислить условную вероятность того, что он квадратный можно: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(square\mid blue) = \dfrac{\mathbb P(square \wedge blue)}{\mathbb P(blue)} = \dfrac{2}{2 + 4} = \dfrac{1}{3}}
Пример 2 — рыжий волос[править]
Предположим, что вы — Шерлок Холмс, расследующий дело об убийстве и на месте преступления вы нашли рыжий волос.
Ведущий это дело детектив Скотланд Ярда говорит: «Ага! Это сделала мисс Скарлет. У нее рыжие волосы, так что если это она убила, то наверняка остался бы рыжий волос. Р(рыжий|Скарлет)=99 %, что позволяет нам почти абсолютную уверенность, так что тут мы, считай, закончили».
"Погодите, " отвечает Холмс, «видите ли, вы некорректно интерпретируете отношения условных вероятностей, детектив. Для изменения нашей уверенности нам нужно не Р(рыжий|Скарлет), то есть шанс, с которым у мисс Скарлет можно обнаружить рыжий волос, но Р(Скарлет|рыжий), то есть шанс с которым рыжий волос будет оставлен именно Скарлет. В городе есть и другие люди, у которых вполне возможно рыжие волосы».
«Значит вы утверждаете…» — медленно произнес детектив, «что Р(рыжий|Скарлет) намного меньше чем 1?»
«Нет же, детектив. Я говорю, что из того что вероятность Р(рыжий|Скарлет) высока, не следует что Р(Скарлет|рыжий) так же высока. Именно вторая и является предметом нашего интереса: как мы, зная о рыжем волосе на месте преступления, выводим, что убийца — мисс Скарлет. И это значение отличается от того, как мы, предполагая что убийца — мисс Скарлет, выводим, что она оставила рыжий волос».
«Но не могут же эти вероятности быть совершенно несвязанными?»
«Ну, а для этого и нужна Теорема Байеса».
Пример 3 — слизеринцы и темные волшебники[править]
— В любом случае, — быстро перебил Драко, — это не имеет отношения к делу, мистер Хагрид. Хотя… — Драко задумался, пытаясь перевести разницу между вероятностью для слизеринца стать Тёмным и вероятностью Тёмного оказаться слизеринцем на ненаучный язык. — Хотя большинство Тёмных волшебников — слизеринцы, лишь немногие из слизеринцев — Тёмные волшебники. А поскольку Тёмных волшебников не так уж и много, ими не могут быть все слизеринцы, — или, как говорил отец, любой Малфой, безусловно, должен владеть многими из тайных искусств, но наиболее… затратные ритуалы лучше оставить полезным глупцам вроде Амикуса Кэрроу.
— Так ты гришь, — произнёс Хагрид, — что большинство Тёмных волшебников — слизеринцы… но…
— Но большинство слизеринцев — не Тёмные волшебники, — закончил Драко. У него появилось нехорошее предчувствие, что на этой части объяснения они застрянут, но, как и в сражении с гидрой, главным было не сдаваться.
Гарри Поттер и методы рационального мышления Глава 100. Меры предосторожности. Часть 1
