Условная вероятность — различия между версиями

Материал из Вики LessWrong.ru
Перейти к: навигация, поиск
м (Добавил новый шаблон Arbital, прогнал викификатор)
 
(не показано 7 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
Условная вероятность <math>{P}(X\mid Y)</math> читается как "Вероятность <math>X</math> с учетом <math>Y</math>". Что означает "Вероятность что <math>X</math> истинно, с учетом что <math>Y</math> истинно".
+
{{Arbital|conditional_probability|Conditional probability}}
  
−
''P(желтый|банан)'' - вероятность того, что банан желтый. Если мы знаем, что это банан, то какова вероятность того, что он желтого цвета?
+
'''Условная вероятность''' <math>{P}(X\mid Y)</math> читается как «[[Вероятность]] <math>X</math> с учетом <math>Y</math>». Что означает «Вероятность что <math>X</math> истинно, с учетом что <math>Y</math> истинно».
  
−
''P(банан|желтый)'' - вероятность того, что желтая штука - это банан. Т.е. если в правой стороне написано ''желтый'', то мы задаем вопрос относительно левой стороны: "какова вероятность что ''банан''"?
+
''P(желтый|банан)'' — вероятность того, что банан желтый. Если мы знаем, что это банан, то какова вероятность того, что он желтого цвета?
  
−
'''Определение'''
+
''P(банан|желтый)'' — вероятность того, что желтая штука — это банан. То есть если в правой стороне написано ''желтый'', то мы задаем вопрос относительно левой стороны: «какова вероятность что ''банан''»?
  
−
Для вычисления <math> P(left \mid right)</math> мы сосредоточиваем внимание лишь на тех случаях, когда <math>right</math> истинно, и интересуемся случаями внутри <math>right</math>, где <math>left</math>  тоже истинно.  
+
Понимать формулы условных вероятностей и не путать ''P(желтый|банан)'' и ''P(банан|желтый)'' важно для понимания терминов [[отношение правдоподобия]] и [[свидетельство]].
  
−
Предположим, что <math>X \wedge Y</math>читается как "<math>X</math> и <math>Y</math>" или же "<math>X</math> и <math>Y</math> оба истинны".  Тогда <math> P(left \mid right) = \dfrac{\mathbb P(left \wedge right)}{\mathbb P(right)}</math>. Можно рассматривать это, как если бы мы "приближали" лишь случаи, где <math>right</math> истинно, и спрашивали бы "внутри" этого мира, в каких случаях "<math>right</math> и <math>left</math> оба истинны".
+
==== Определение ====
 +
Для вычисления <math> P(left \mid right)</math> мы сосредоточиваем внимание лишь на тех случаях, когда <math>right</math> истинно, и интересуемся случаями внутри <math>right</math>, где <math>left</math> тоже истинно.
  
 +
Предположим, что <math>X \wedge Y</math>читается как «<math>X</math> и <math>Y</math>» или же «<math>X</math> и <math>Y</math> оба истинны». Тогда <math> P(left \mid right) = \dfrac{\mathbb P(left \wedge right)}{\mathbb P(right)}</math>. Можно рассматривать это, как если бы мы «приближали» лишь случаи, где <math>right</math> истинно, и спрашивали бы «внутри» этого мира, в каких случаях «<math>right</math> и <math>left</math> оба истинны».
 +
 +
==== Пример 1 — красные и синие объекты ====
 +
Предположим, что у вас есть мешок с объектами, которые либо красные либо синие, либо круглые либо квадратные. Их количество задается таблицей:
 +
{| class="wikitable" border="1"
 +
|-
 +
!
 +
! красные (red)
 +
! синие (blue)
 +
|-
 +
| Квадратные (Square)
 +
| 1
 +
| 2
 +
|-
 +
| Круглые (Round)
 +
| 3
 +
| 4
 +
|}
 +
Если вы, засунули руку в мешок, нащупали круглый объект, то условная вероятность того, что он красный, определяется с помощью приближения лишь круглых объектов, и вопроса о частоте объектов одновременно красных и круглых внутри приближенного пространства: <math> P(red\mid round) = \dfrac{\mathbb P(red \wedge round)}{\mathbb P(round)} = \dfrac{3}{3 + 4} = \dfrac{3}{7}</math>
 +
 +
Если вы заглянули в мешок и увидели сверху синий объект, но не разглядели форму, то вычислить условную вероятность того, что он квадратный можно: <math>P(square\mid blue) = \dfrac{\mathbb P(square \wedge blue)}{\mathbb P(blue)} = \dfrac{2}{2 + 4} = \dfrac{1}{3}</math>
 +
 +
<gallery>
 +
ZscEdLj.png
 +
 +
</gallery>
 +
 +
==== Пример 2 — рыжий волос ====
 +
Предположим, что вы — Шерлок Холмс, расследующий дело об убийстве и на месте преступления вы нашли рыжий волос.
 +
 +
Ведущий это дело детектив Скотланд Ярда говорит: «Ага! Это сделала мисс Скарлет. У нее рыжие волосы, так что если это она убила, то наверняка остался бы рыжий волос. ''Р(рыжий|Скарлет)=99 %'', что позволяет нам почти абсолютную уверенность, так что тут мы, считай, закончили».
 +
 +
"Погодите, " отвечает Холмс, «видите ли, вы некорректно интерпретируете отношения условных вероятностей, детектив. Для изменения нашей уверенности нам нужно не ''Р(рыжий|Скарлет)'', то есть шанс, с которым у мисс Скарлет можно обнаружить рыжий волос, но ''Р(Скарлет|рыжий)'', то есть шанс с которым рыжий волос будет оставлен именно Скарлет. В городе есть и другие люди, у которых вполне возможно рыжие волосы».
 +
 +
«Значит вы утверждаете…» — медленно произнес детектив, «что ''Р(рыжий|Скарлет)'' намного меньше чем 1?»
 +
 +
«Нет же, детектив. Я говорю, что из того что вероятность ''Р(рыжий|Скарлет)'' высока, не следует что ''Р(Скарлет|рыжий)'' так же высока. Именно вторая и является предметом нашего интереса: как мы, '''зная''' о рыжем волосе на месте преступления, '''выводим''', что убийца — мисс Скарлет. И это значение отличается от того, как мы, '''предполагая''' что убийца — мисс Скарлет, '''выводим''', что она оставила рыжий волос».
 +
 +
«Но не могут же эти вероятности быть совершенно несвязанными?»
 +
 +
«Ну, а для этого и нужна [[Теорема Байеса]]».
 +
 +
==== Пример 3 — слизеринцы и темные волшебники ====
 +
— В любом случае, — быстро перебил Драко, — это не имеет отношения к делу, мистер Хагрид. Хотя… — Драко задумался, пытаясь перевести разницу между вероятностью для слизеринца стать Тёмным и вероятностью Тёмного оказаться слизеринцем на ненаучный язык. — Хотя большинство Тёмных волшебников — слизеринцы, лишь немногие из слизеринцев — Тёмные волшебники. А поскольку Тёмных волшебников не так уж и много, ими не могут быть все слизеринцы, — или, как говорил отец, любой Малфой, безусловно, должен владеть многими из тайных искусств, но наиболее… затратные ритуалы лучше оставить полезным глупцам вроде Амикуса Кэрроу.
 +
 +
— Так ты гришь, — произнёс Хагрид, — что большинство Тёмных волшебников — слизеринцы… но…
 +
 +
— Но большинство слизеринцев — не Тёмные волшебники, — закончил Драко. У него появилось нехорошее предчувствие, что на этой части объяснения они застрянут, но, как и в сражении с гидрой, главным было не сдаваться.
 +
 +
Гарри Поттер и методы рационального мышления
 +
Глава 100. Меры предосторожности. Часть 1
  
 
=== Статьи по теме ===
 
=== Статьи по теме ===
 
* [https://arbital.com/p/conditional_probability/ Conditional probability (arbital)]
 
* [https://arbital.com/p/conditional_probability/ Conditional probability (arbital)]
 +
* [[lwru:/Что такое свидетельство|Что такое свидетельство]]
 +
 +
[[Категория:Понятия]][[Категория:Теория вероятностей]]

Текущая версия на 19:01, 12 ноября 2023

Эта статья является переводом или основана на переводе статьи с Arbital: Conditional probability

Условная вероятность Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {P}(X\mid Y)} читается как «Вероятность Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} с учетом Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} ». Что означает «Вероятность что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} истинно, с учетом что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} истинно».

P(желтый|банан) — вероятность того, что банан желтый. Если мы знаем, что это банан, то какова вероятность того, что он желтого цвета?

P(банан|желтый) — вероятность того, что желтая штука — это банан. То есть если в правой стороне написано желтый, то мы задаем вопрос относительно левой стороны: «какова вероятность что банан»?

Понимать формулы условных вероятностей и не путать P(желтый|банан) и P(банан|желтый) важно для понимания терминов отношение правдоподобия и свидетельство.

Определение[править]

Для вычисления Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(left \mid right)} мы сосредоточиваем внимание лишь на тех случаях, когда Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle right} истинно, и интересуемся случаями внутри Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle right} , где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle left} тоже истинно.

Предположим, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X \wedge Y} читается как «Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} » или же «Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} оба истинны». Тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(left \mid right) = \dfrac{\mathbb P(left \wedge right)}{\mathbb P(right)}} . Можно рассматривать это, как если бы мы «приближали» лишь случаи, где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle right} истинно, и спрашивали бы «внутри» этого мира, в каких случаях «Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle right} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle left} оба истинны».

Пример 1 — красные и синие объекты[править]

Предположим, что у вас есть мешок с объектами, которые либо красные либо синие, либо круглые либо квадратные. Их количество задается таблицей:

красные (red) синие (blue)
Квадратные (Square) 1 2
Круглые (Round) 3 4

Если вы, засунули руку в мешок, нащупали круглый объект, то условная вероятность того, что он красный, определяется с помощью приближения лишь круглых объектов, и вопроса о частоте объектов одновременно красных и круглых внутри приближенного пространства: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(red\mid round) = \dfrac{\mathbb P(red \wedge round)}{\mathbb P(round)} = \dfrac{3}{3 + 4} = \dfrac{3}{7}}

Если вы заглянули в мешок и увидели сверху синий объект, но не разглядели форму, то вычислить условную вероятность того, что он квадратный можно: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(square\mid blue) = \dfrac{\mathbb P(square \wedge blue)}{\mathbb P(blue)} = \dfrac{2}{2 + 4} = \dfrac{1}{3}}

  • ZscEdLj.png

Пример 2 — рыжий волос[править]

Предположим, что вы — Шерлок Холмс, расследующий дело об убийстве и на месте преступления вы нашли рыжий волос.

Ведущий это дело детектив Скотланд Ярда говорит: «Ага! Это сделала мисс Скарлет. У нее рыжие волосы, так что если это она убила, то наверняка остался бы рыжий волос. Р(рыжий|Скарлет)=99 %, что позволяет нам почти абсолютную уверенность, так что тут мы, считай, закончили».

"Погодите, " отвечает Холмс, «видите ли, вы некорректно интерпретируете отношения условных вероятностей, детектив. Для изменения нашей уверенности нам нужно не Р(рыжий|Скарлет), то есть шанс, с которым у мисс Скарлет можно обнаружить рыжий волос, но Р(Скарлет|рыжий), то есть шанс с которым рыжий волос будет оставлен именно Скарлет. В городе есть и другие люди, у которых вполне возможно рыжие волосы».

«Значит вы утверждаете…» — медленно произнес детектив, «что Р(рыжий|Скарлет) намного меньше чем 1?»

«Нет же, детектив. Я говорю, что из того что вероятность Р(рыжий|Скарлет) высока, не следует что Р(Скарлет|рыжий) так же высока. Именно вторая и является предметом нашего интереса: как мы, зная о рыжем волосе на месте преступления, выводим, что убийца — мисс Скарлет. И это значение отличается от того, как мы, предполагая что убийца — мисс Скарлет, выводим, что она оставила рыжий волос».

«Но не могут же эти вероятности быть совершенно несвязанными?»

«Ну, а для этого и нужна Теорема Байеса».

Пример 3 — слизеринцы и темные волшебники[править]

— В любом случае, — быстро перебил Драко, — это не имеет отношения к делу, мистер Хагрид. Хотя… — Драко задумался, пытаясь перевести разницу между вероятностью для слизеринца стать Тёмным и вероятностью Тёмного оказаться слизеринцем на ненаучный язык. — Хотя большинство Тёмных волшебников — слизеринцы, лишь немногие из слизеринцев — Тёмные волшебники. А поскольку Тёмных волшебников не так уж и много, ими не могут быть все слизеринцы, — или, как говорил отец, любой Малфой, безусловно, должен владеть многими из тайных искусств, но наиболее… затратные ритуалы лучше оставить полезным глупцам вроде Амикуса Кэрроу.

— Так ты гришь, — произнёс Хагрид, — что большинство Тёмных волшебников — слизеринцы… но…

— Но большинство слизеринцев — не Тёмные волшебники, — закончил Драко. У него появилось нехорошее предчувствие, что на этой части объяснения они застрянут, но, как и в сражении с гидрой, главным было не сдаваться.

Гарри Поттер и методы рационального мышления Глава 100. Меры предосторожности. Часть 1

Статьи по теме[править]

Источник — «https://lesswrong.ru/wiki/index.php?title=Условная_вероятность&oldid=3250»