Водопадные диаграммы и относительные шансы

Эта статья является переводом или основана на переводе статьи с Arbital: Waterfall diagrams and relative odds

Водопадные диаграммы, как и частотные, дают возможность визуализировать вывод по ТБ.

Вообразите водопад с двумя потоками воды на вершине: красным и синим. Они приближаются к вершине раздельно, а потом часть воды в этих потоках уходит в сторону, а часть объединяется в один водоем.

• 

Предположим что:

• С вершины вниз падает 20 литров в секунду красной воды и 80 литров в секунду синей.
• Лишь 90 % красной воды попадает в объединенный водоем.
• Лишь 30 % синей воды попадает в объединенный водоем.

Сколько всего красной воды и синей воды падает вниз, образуя фиолетовый водоем?

Эта проблема аналогична задаче про Болезнит:

• 20 % популяции заражено Болезнитом.
• У 90 % зараженных депрессор чернеет.
• У 30 % здоровых людей тоже чернеет депрессор.

Эти 20 % зараженных аналогичны 20 литрам в секунду красной воды; а 80 % здоровых аналогичны 80 литрам в секунду синей воды.

• 

Эти 90 % зараженных с почерневшим депрессором аналогичны 90 % красной воды, попадающей в фиолетовый водоем. А 30 % здоровых пациентов с почерневшим депрессором аналогичны 30 % синей воды, попадающей в фиолетовый водоем.

• 

Следовательно, ответ на вопрос «какая часть воды в фиолетовом водоеме из красного потока?» и ответ на вопрос "какая часть пациентов с почерневшим депрессором заражена Болезнитом? совпадают.

А теперь я покажу быстрый способ ответить на тот вопрос из статьи про частотные диаграммы.

На вершине водопада синей воды в 4 раза больше, чем красной.

Потом у каждой молекулы красной воды есть 90 % вероятность оказаться в фиолетовом водоеме, а у молекулы синей воды эта вероятность составляет 30 %. Так что у молекулы воды шансы в три раза выше (0.90 / 0.30 = 3) оказаться в фиолетовом водоеме.

Мы умножаем априорные пропорции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 : 4 } (соотношение красной и синей воды на вершине) и относительные пропорции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3 : 1} и получаем итог Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1 \cdot 3) : (4 \cdot 1) = 3 : 4} , что значит — фиолетовый водоем состоит из 3 частей красной воды и четырех частей синей.

• 

Если превратить эти относительные пропорции в абсолютные вероятности того, что случайная молекула воды в фиолетовом водоеме попала туда из красного потока мы вычисляем 3 / (3 + 4)= 3/7, что составляет примерно 47 %. Столько воды в фиолетовом водоеме из красного потока.

Эта пропорция точно такая же как и 18 : 24 зараженных с положительным результатом и здоровых с положительным результатом, которую мы получим в ходе решения задачи про 100 пациентов.

Итак, чтобы решить задачу про Болезнит в уме, вам следует превратить эту словесную задачу:

• 20 % исследуемой популяции заражены Болезнитом. У 90 % зараженных депрессор становится черным, как и у 30 % незараженных. С учетом того, что депрессор почернел, какова вероятность того, что у пациента Болезнит?

В такие вычисления:

• Итак, начальные шансы (20 % : 80 %) = (1 : 4), и относительные шансы (90 % : 30 %) = (3 : 1). Перемножаем и получаем (3 : 4) что составляет вероятность в 3 / (3 + 4) = 3/7.

(Возможно у вас будут трудности с переводом 3/7 в 43 % в уме, но можно прикинуть и будет видно, что вероятность ниже 50 %.)

Попробуйте применить этот же способ для такой задачи:

• 90 % виджетов хорошие, а 10 % плохие.
• 12 % плохих виджетов искрят.
• Лишь 4 % хороших виджетов искрят.

Какой процент искрящих виджетов состовляют плохие? И если вам понятен метод, попробуйте решить эту задачу в уме.

(Можно даже вообразить виджетопад с плохими и хорошими виджетами на вершине и искрящими виджетами внизу.)

Решение

Соотношение плохих виджетов к хорошим составляет (1 : 9).

Относительное правдоподобие искрящих плохих виджетов к искрящим хорошим составляет (12 : 4).

Это упрощается в (1 : 9) x (3 : 1) = (3 : 9) = (1 : 3), т.е. на 1 плохой искрящийся виджет приходится 3 хороших искрящихся.

Что превращается в вероятность 1/(1+3) = 1/4 = 25%; т.е. 25% искрящихся виджетов плохие.

Это не значит, что мы, увидев искры, будем думать, что этот виджет плохой. Вероятность стала лишь 25%, что меньше чем 50/50. Но это и не означает, что мы будем думать "Я все еще верю, что этот виджет хороший!", и выкинем свидетельство из головы. Плохой виджет с большей вероятностью будет искрить, следовательно, наблюдая это свидетельство, мы должны ожидать с большей уверенностью, что это виджет плохой, даже если вероятность не поднялась выше 50%. Мы увеличиваем вероятность с 10% до 25%.

Водопады — один из способов визуализировать «шансовую форму» ТБ, которая выражается как: априорные шансы помноженные на условные шансы дают апостериорные шансы. Что в свою очередь можно рассматривать как формализацию концепции «силы свидетельства» или «как сильно мы должны изменить наши убеждения в случае наблюдения свидетельства». В следующей статье мы рассмотрим более общую форму.

Статьи по теме

• Каталог статей гайда по ТБ: Теорема Байеса
• Предыдущая статья в гайде: Частотные диаграммы. Первое знакомство с теоремой Frequency diagrams: A first look at Bayes
• Следующая статья в гайде: Правило Байеса: шансы Introduction to Bayes' rule: Odds form
• Условная вероятность
• Свидетельство