156
правок
Изменения
Нет описания правки
=== Шансы: введение ===
Предположим, что у нас есть мешок, в котором лежат красные и синие шарики, но синих шариков в два раза больше, чем красных. Тогда, если вы достанете не глядя шарик, то шансы <math>2 : 1</math> в пользу того, что вы вытащили синий.
<gallery>
Другими словами, с учетом шансов <math>(x : y)</math>, мы можем увеличить их любым положительным числом <math>\alpha</math> и получить эквивалентные шансы <math>(\alpha x : \alpha y).</math>
=== Преобразование шансов в вероятности ===
Если в мешке еще есть и зеленые шарики, тогда относительные шансы для красных и синих все еще будут <math>(1 : 2),</math> но вероятность вытащить красный шарик будет уже ниже.
<gallery>
1ooyn9Py.png
</gallery>
Если красные (red), синие (blue) и зеленые (green) шарики - составляют все разнообразие шариков в мешке, то мы можем преобразовать шансы <math>(r : b : g)</math> в вероятности <math>(p_r : p_b : p_g)</math> с которыми можно вытащить шарик определенного цвета из мешка. Из-за того, что шариков другого цвета в мешке нет, <math>(p_r + p_g + p_b)</math> будет равняться 1, так что <math>(p_r : p_b : p_g)</math> будут эквивалентны <math>(r : b : g)</math>, но "нормализированы" так, чтобы давать в сумме 1. Например, <math>(1 : 2 : 1)</math> будут нормализироваться в <math>\frac{1}{4} : \frac{2}{4} : \frac{1}{4},</math> что будет соответствовать вероятности вытащить красный/синий/зеленый шарик из мешка.
Отметим, что если красные и синие шарики не составляют все возможные варианты, то особого смысла в преобразовании шансов <math>(r : b)</math> в вероятности нет. Например, если у нас в мешке <math>100</math> зеленых шариков, <math>1</math> красный и <math>2</math> синих, тогда соотношение красных к синим будет все еще <math>1 : 2</math>, но вероятность вытащить красный шарик будет намного ниже <math>\frac{1}{3}</math>. Преобразовывать шансы в вероятности можно лишь когда возможные варианты [[Взаимоисключающие и исчерпывающие гипотезы|взаимоисключающие и исчерпывающие]].
Представьте лес, где часть деревьев больна, а часть здорова, и шансы на то, что дерево больно составляют <math>(2 : 3)</math>, и каждое дерево либо больно, либо здорово. В таком случае вероятность того, что случайно выбранное дерево из всех в лесу окажется больным составляет <math>\frac{2}{5}</math>, потому что <math>2</math> из каждых <math>(2+3)</math> деревьев больны.
<gallery>
2GVZnz2c.png
</gallery>
In general, the operation we're doing here is taking relative odds like $(a : b : c \ldots)$ and dividing each term by the sum $(a + b + c \ldots)$ to produce $$\left(\frac{a}{a + b + c \ldots} : \frac{b}{a + b + c \ldots} : \frac{c}{a + b + c \ldots}\ldots\right)$$ Dividing each term by the sum of all terms gives us an equivalent set of odds (because each element is divided by the same amount) whose terms sum to 1.
This process of dividing a set of odds by the sum of its terms to get a set of probabilities that sum to 1 is called [normalize_probabilities normalization].
В целом, выполняемая нами операция такая: мы берем относительные шансы вроде <math>(a : b : c \ldots)</math> и делим каждую переменную на их сумму <math>(a + b + c \ldots)</math> и получаем <math>\left(\frac{a}{a + b + c \ldots} : \frac{b}{a + b + c \ldots} : \frac{c}{a + b + c \ldots}\ldots\right)</math>. Деление каждой переменной на их сумму дает нам эквивалентный набор шансов (потому что каждая переменная делится на одно и то же число), но при этом дающий в сумме 1.
Этот процесс деления набора шансов на сумму их переменных для получения набора вероятностей, дающих в сумме 1, называется [[Нормализация|нормализацией]].