Сколько свидетельств понадобится

Напомню, что свидетельство — это «событие, сцепленное с интересующей тебя сущностью последовательностью из причин и следствий», а сцепленность — «событие проявляется по-разному в зависимости от различных состояний цели». Так какое количество сцепленности — сколько свидетельств — требуется для того, чтобы поддержать убеждение?

Начнём с простого вопроса (достаточно простого для того, чтобы можно было получить ответ математически): насколько нужно сцепиться с лотереей, чтобы выиграть? Скажем, есть 70 шаров, вытаскиваемых в случайном порядке, и, чтобы выиграть, нужно, чтобы совпало шесть чисел. Тогда существует 131 115 985 возможных комбинаций, и вероятность того, что произвольный лотерейный билет выиграет, равна 1/131 115 985 (это 0,0000007%). Чтобы выиграть в лотерею, необходимы свидетельства, достаточно избирательные для того, чтобы благоволить одной комбинации, а не 131 115 984 её альтернативам.

Скажем, существуют вероятностные тесты, различающие выигрышные и проигрышные билеты. Например, можно ввести комбинацию в чёрный ящик, который всегда гудит, если комбинация выигрышна, и не всегда гудит, если комбинация проигрышна. Допустим, вероятность этого лишь 1/4 (или, в байесианской терминологии, отношение правдоподобия чёрного ящика — четыре к одному: если комбинация была выигрышной, то ящик загудит с вероятностью в четыре раза больше, чем для проигрышной).

Но возможных комбинаций очень много. Если ввести в ящик 20 проигрышных комбинаций, 5 из них (в среднем) заставят его загудеть — просто из-за вероятности ошибиться в 25%. Если ввести в ящик все 131 115 985 возможных комбинаций, то ящик загудит не только после выигрышной, но и после 32 778 996 проигрышных (в среднем).

Этот чёрный ящик не позволит выиграть лотерею, но это лучше, чем ничего. Благодаря ему, вероятность выигрыша вырастает от 1/131 115 985 до 1/32 778 997. Наблюдается прогресс в деле отыскания истины внутри обширного пространства возможностей.

Теперь предположим, что можно использовать второй ящик для того, чтобы проверить комбинацию дважды, независимо. Оба ящика точно загудят на правильную комбинацию, а вероятность гудка в ответ на неправильную комбинацию — 1/4 независимо для каждого ящика, и поэтому оба ящика загудят на проигрышную комбинацию с вероятностью лишь в 1/16. Можно сказать, что суммарное свидетельство, полученное в результате двух независимых тестов, имеет отношение правдоподобия 16:1. Число проигрышных лотерейных билетов, прошедших оба теста — 8 194 749 (в среднем).

Раз всего возможно 131 115 985 лотерейных билетов, то соблазнительно сказать, что необходимы свидетельства, чья суммарная сила будет примерно 131 115 985 к 1 — то есть нужно событие (или серия событий), в 131 115 985 раз более вероятное при условии, что комбинация выигрышная, чем при условии, что комбинация проигрышная. Но на самом деле этого свидетельства хватит лишь на то, чтобы дать 50% вероятность выигрыша. Почему? Потому что, если применить фильтр этой силы к 131 миллиону проигрышных билетов, то один (в среднем) проигрышный билет его пройдёт. Выигрышный билет тоже его пройдёт, и в результате получатся два прошедших фильтр билета. Вероятность выиграть 50%, если купить можно лишь один.

Лучше посмотреть на ситуацию следующим образом. Вначале, есть 1 выигрышный билет и 131 115 984 проигрышных, поэтому шансы выиграть 1:131 115 984. Шансы ящика загудеть — 1 (для выигрышного билета) к 0,25 (для проигрышного). Умножив 1:131 115 984 на 1:0,25 , получаем 1:32 778 996. После добавления ещё ящика свидетельств, шансы опять умножаются на 1:0,25 , и теперь они равны 1 к 8 194 749: 1 выигрышный билет и 8 194 749 проигрышных.

Удобно измерять свидетельства в битах — не в тех битах, которые можно найти на жёстком диске, а в математических битах, которые концептуально от них отличаются. Эти биты — просто логарифмы вероятностей по основанию 1/2. Например, если возможны четыре случая — A, B, C и D, чьи вероятности 50%, 25%, 12,5% и 12,5% соответственно, и я говорю, что случилось D, то тем самым я передаю тебе 3 бита информации, так как вероятность сообщённого результата — 1/8.

Удачное совпадение: 131 115 984 чуточку меньше, чем 2 в 27-й степени. Поэтому 14 ящиков, или 28 бит свидетельствующей информации — событие, в 268 435 456 раз более вероятное при условии, что гипотеза-о-билете верна, чем при условии, что она ложна, — увеличит шансы с 1:131 115 984 до 268 435 456:131 115 984, что примерно равно 2:1. Шансы 2:1 означают, что на каждые две победы приходится один проигрыш, то есть, если взять в руки 28 битов свидетельствующей информации, то вероятность выигрыша будет 2/3. Добавим ещё один ящик, 2 бита свидетельствующей информации, и шансы сдвинутся до 8:1. Появление ещё двух ящиков превратит шансы выигрыша в 128:1.

Так что, если ты хочешь получить право на сильное убеждение в том, что ты выиграешь лотерею (то есть, скажем, чтобы вероятность твоей неправоты была меньше 1%), то 34 бит свидетельствующей информации о выигрышной комбинации вполне достаточно.

В общем случае, для ответа на вопрос «сколько свидетельств для этого понадобится?» нужно использовать примерно такие же правила оценки. Чем больше пространство возможностей, или чем сильнее априорная невероятность гипотезы по сравнению с её ближайшими соседями, или чем более уверенным хочется быть, тем больше нужно свидетельств.

Правила нельзя обмануть. Никто не может формировать убеждения, основываясь на неадекватных свидетельствах. Скажем, у тебя есть ряд из 10 ящиков, и ты вбиваешь комбинации в каждый из них. Ты не можешь остановиться на первой комбинации, успешно прошедшей все ящики, и сказать: «Но шанс на то, что это случится для проигрышного билета — один к миллиону! Чёрт с этими полурелигиозными обычаями байесианцев, я закончил!». Этот тест пройдёт не только победитель, но ещё и 131 проигрышный билет (в среднем). Ты пришёл к слишком сильному выводу, основываясь на недостаточном количестве свидетельств, не сумев побороть громадность пространства возможностей и априорную невероятность. Это не надуманное бюрократическое предписание, это математика.

Конечно, можно быть убеждённым в чём-то, основываясь на неадекватных свидетельствах, если сильно хочется; но убеждения при этом не могут быть истинными. Ситуацию можно сравнить с попыткой завести машину без бензина, игнорируя глупое, закостенелое, несправедливое и смехотворное правило «автомобилю нужен бензин для того, чтобы ездить». Было бы намного удобнее и дешевле, если бы люди отменили этот закон, разве это не очевидно вообще всем? Что же, можно попробовать, если сильно хочется. Можно даже закрыть глаза и представить себе, что машина движется. Но для того, чтобы на самом деле прибыть к правдивым убеждениям, необходимы свидетельства-бензин и, чем дальше ехать, тем больше бензина понадобится.