156
правок
Изменения
Нет описания правки
[[Априорная вероятность|Априорные]] шансы означают соотношение больных пациентов к здоровым <math>1 : 4</math>. Превращение этих шансов в вероятности даст нам <math>\mathbb P(sick)=\frac{1}{4+1}=\frac{1}{5}=20\%</math>.
The [-relative_likelihood] refers to how much more likely each sick patient is to get a positive test result than each healthy patient, which (using [conditional_probability conditional probability notation]) is $\frac{\mathbb P(positive \mid sick)}{\mathbb P(positive \mid healthy)}=\frac{0.90}{0.30},$ aka relative likelihoods of $3 : 1.$
[[Соотношение условных шансов|Соотношение условных шансов]] означает соотношение того, насколько вероятней у больного пациента почернеет депрессор к к положительному результату у здорового, что с использованием обозначения для [[Условная вероятность|условных вероятностей]] будет выглядеть как <math>\frac{\mathbb P(positive \mid sick)}{\mathbb P(positive \mid healthy)}=\frac{0.90}{0.30},</math> т.е. соотношение условных шансов будет <math>3 : 1.</math>
[[Апостериорная вероятность|Апостериорные]] шансы означают соотношение больных пациентов к здоровым среди всех с положительным результатом, что выражается как <math>\frac{\mathbb P(sick \mid positive)}{\mathbb P(healthy \mid positive)} = \frac{3}{4}</math>, т.е. шансы <math>3 : 4</math>.
Для извлечения вероятности из шансов нам следует держать в уме, что [[Взаимоисключающие и исчерпывающие гипотезы|полная вероятность взаимоисключающих событий ]] в сумме всегда составляет <math>1,</math> т.е. есть 100% вероятность для ''чего-то''. Раз уж все либо болеют либо здоровы, мы можем [[Нормализация вероятностей|нормализовать]] соотношение шансов <math>3 : 4</math> путем деления их на сумму: <math>(\frac{3}{3+4} : \frac{4}{3+4}) = (\frac{3}{7} : \frac{4}{7}) \approx (0.43 : 0.57)</math>
...что в итоге дает нам вероятности <math>(0.43 : 0.57)</math>, пропорциональные шансам <math>(3 : 4)</math>, с суммой в <math>1</math>. Будет странно иметь вероятность в <math>3</math> (300%) для какого-то события.
Если визуализировать это с помощью водопадной диаграммы:
<gallery>
4CXsoZhA.png
</gallery>
Мы можем обобщить это для любых конкурирующих гипотез <math>H_j</math> и <math>H_k</math> и свидетельства <math>e</math>, что теорема Байеса может быть записана как:
<math>\dfrac{\mathbb P(H_j)}{\mathbb P(H_k)} \times \dfrac{\mathbb P(e \mid H_j)}{\mathbb P(e \mid H_k)} = \dfrac{\mathbb P(H_j \mid e)}{\mathbb P(H_k \mid e)}</math>
что говорит нам: "соотношение апостериорных шансов для конкурирующих гипотез <math>H_j</math> и <math>H_k</math> (при условии наблюдения свидетельства <math>e</math>), равно произведению априорных шансов с соотношением того, как <math>H_j</math> предсказывает свидетельство в сравнении с <math>H_k.</math>"
Если <math>H_j</math> и <math>H_k</math> [[Взаимоисключающие и исчерпывающие гипотезы|взаимоисключающие и исчерпывающие]], мы можем конвертировать апостериорные шансы в апостериорную вероятность для <math>H_j</math> путем [[Нормализация вероятностей|нормализации]] шансов: делением соотношения шансов на их сумму, чтобы элементы нового соотношения суммировались к <math>1</math>.
=== Доказательство теоремы Байеса ===
Rearranging [conditional_probability the definition of conditional probability], $\mathbb P(X \wedge Y) = \mathbb P(Y) \cdot \mathbb P(X|Y).$ E.g. to find "the fraction of all patients that are sick *and* get a positive result", we multiply "the fraction of patients that are sick" times "the probability that a sick patient blackens the tongue depressor".
Перестроим [[Условные вероятности|определение условных вероятностей]] <math>\mathbb P(X \wedge Y) = \mathbb P(Y) \cdot \mathbb P(X|Y).</math> Т.е. чтобы найти "часть всех пациентов которые больны и с положительным результатом" мы перемножаем "часть пациентов, которые больны" и "вероятность того, что у зараженного пациента почернеет депрессор".
Тогда доказательство теоремы Байеса, где <math>e_0</math> - новое свидетельство, будет выглядеть так:
<math>
\frac{\mathbb P(H_j)}{\mathbb P(H_k)}
\cdot
\frac{\mathbb P(e_0 | H_j)}{\mathbb P(e_0 | H_k)}
=
\frac{\mathbb P(e_0 \wedge H_j)}{\mathbb P(e_0 \wedge H_k)}
=
\frac{\mathbb P(H_j \wedge e_0)/\mathbb P(e_0)}{\mathbb P(H_k \wedge e_0)/\mathbb P(e_0)}
=
\frac{\mathbb P(H_j | e_0)}{\mathbb P(H_k | e_0)}
</math>
ч.т.д.
In the Diseasitis example, these proof steps correspond to the operations:
Для задачи про Болезнит, шаги этого доказательства соответствуют операциям:
<math>
\frac{0.20}{0.80}
\cdot
\frac{0.90}{0.30}
=
\frac{0.18}{0.24}
=
\frac{0.18/0.42}{0.24/0.42}
=
\frac{0.43}{0.57}
</math>
Using red for sick, blue for healthy, grey for a mix of sick and healthy patients, and + signs for positive test results, the calculation steps can be visualized as follows:
Используя красный цвет для обозначения больных, синий - для здоровых, серый для смеси больных и здоровых, и знак "+" для положительного результата, можно визуализировать вычисления:
<gallery>
5YBc2nYo.png
</gallery>
This process of observing evidence and using its likelihood ratio to transform a prior belief into a posterior belief is called a "[bayes_update Bayesian update]" or "belief revision."
Этот процесс, где мы наблюдаем свидетельства и используем соотношение условных вероятностей (отношения правдоподобия) для трансформации априорных убеждений в апостериорные называется "[[Байесианский апдейт| байесианским апдейтом]]" или же "пересмотром убеждений.
=== Статьи по теме ===
*Каталог статей гайда по ТБ: [[Теорема Байеса]]
*Предыдущая статья в гайде: [[Водопадные диаграммы и относительные шансы]]
*Следующая статья в гайде: [https://arbital.com/p/bayes_extraordinary_claims/?pathId=24787 Extraordinary claims require extraordinary evidence ]