Второй закон термодинамики и двигатели познания

Первый закон термодинамики, более известный как закон сохранения энергии, утверждает, что нельзя создать энергию из ничего. Первый закон запрещает вечный двигатель первого рода — устройство, способное работать бесконечно долго без затрат топлива или других энергетических ресурсов. Согласно современной физике, энергия сохраняется при абсолютно каждом взаимодействии частиц. Применяя математическую индукцию, мы получаем, что, каким бы большим ни было множество частиц, оно не сможет произвести энергию из ничего — во всяком случае, без нарушения известных нам законов физики.

Именно поэтому, если вы попробуете запатентовать гениальное изобретение, состоящее из колёс и шестерёнок, в которой одна пружина разжимается, а другая сжимается и так далее, и которая, по вашим расчётам будет работать вечно, Патентное ведомство США без раздумий отклонит вашу заявку. Полностью доказано, что для работы такой машины хотя бы одна её деталь должна нарушать законы физики (в стандартной модели). Поэтому, если вы не можете объяснить, как одна деталь нарушает законы физики, вы не сможете объяснить, как их нарушает вся машина.

Подобный довод применим и к инерциоиду — двигательной установке, нарушающей закон сохранения импульса. В стандартной модели импульс сохраняется для всех частиц и их взаимодействий. По математической индукции, импульс будет сохраняться для систем любого размера. Если вы можете представить две сталкивающиеся частицы, которые разлетаются с таким же суммарным импульсом, то вы поймёте, что увеличение системы до огромной машины из кучи шестерёнок ничего не изменит. Даже если составить систему из триллионов квадриллионов атомов, 0 + 0 + … + 0 = 0.

Но закон сохранения энергии сам по себе не может запретить преобразовывать тепло в работу. Вы можете сделать закрытую коробку, которая превращает кубики льда и запасённое электричество в тёплую воду. Это даже совсем не сложно. Нельзя создать или уничтожить энергию: изменение количества энергии при трансформации кубиков льда и электричества в тёплую воду должно равняться нулю. Поэтому, если бы вы провели обратную трансформацию, закон сохранения энергии тоже бы не нарушился.

Вечные двигатели второго рода, превращающие тёплую воду в электрический ток и кубики льда, запрещены вторым законом термодинамики.

Понять второй закон немного труднее, поскольку по своей природе он байесовский.

Я не шучу.

Второй закон термодинамики вытекает из теоремы, которую можно доказать в стандартной физической модели: при изменении любой замкнутой системы во времени объём её фазового пространства сохраняется.

Допустим, вы держите мяч высоко над землёй. Это состояние можно описать как точку в многомерном пространстве, в котором по крайней мере одно из измерений — высота мяча над землёй. Затем, когда вы отпускаете мяч, он начинает двигаться. Одновременно начинает двигаться и безразмерная точка в фазовом пространстве, которая описывает всю систему, состоящую из вас и мяча. Термин «фазовое пространство» в физике обозначает, что в нём есть измерения не только для координат частиц, но ещё и для импульсов. Например, система из двух частиц будет иметь 12 измерений: 3 измерения на координату частицы, и 3 измерения на импульс.

Если у вас есть многомерное пространство, в котором каждое измерение описывает положение соответствующей шестерёнки в огромном механизме, то, когда вы будете поворачивать шестерёнки, в многомерном фазовом пространстве будет метаться туда-сюда единственная точка. И раз мы можем представить большой сложный механизм в виде одной точки в многомерном пространстве, то законы физики, описывающие поведение механизма с течением времени, мы можем представить, как описывающие траекторию этой точки в фазовом пространстве.

Второй закон термодинамики — следствие теоремы, доказываемой в стандартной модели физики: если рассмотреть некоторый объём фазового пространства, который преобразуется во времени в стандартной модели, то его суммарный объём сохраняется.

Например:

Возьмём две системы, $X$ и $Y$, где $X$ имеет 8 возможных состояний, $Y$ — 4 возможных состояния, а объединённая система $(X,Y)$ — 32 состояния.

Преобразование объединённой системы с течением времени можно описать правилом, которое отображает начальные точки в будущие точки. Например, система может начать в состоянии $X_7Y_2$, и за минуту перейти (под действием каких-то законов физики) в состояние $X_3Y_3$. То есть, если $X$ находится в состоянии 7, Y — в состоянии 2, и мы проследим за ними одну минуту, то мы увидим переход $X$ в состояние 3 и $Y$ в состояние 3. Таковы законы физики.

Далее, давайте выделим в объединённой системе подпространство $S$. Пусть в $S$ $Х$ всегда находится в состоянии 1, а $Y$ — в состояниях 1-4 . Таким образом, общий объём $S$ будет равен 4 состояниям.

И давайте допустим, что состояния, изначально входящие в $S$, под действиями управляющих системой $(X,Y)$ законов физики, ведут себя следующим образом:

$$X_1Y_1 \rightarrow X_2Y_1$$
$$X_1Y_2 \rightarrow X_4Y_1$$
$$X_1Y_3 \rightarrow X_6Y_1$$
$$X_1Y_4 \rightarrow X_8Y_1$$

Это, в двух словах, описание работы холодильника.

Подсистема $X$ стартовала из узкой области пространства состояний (единственного состояния 1), а $Y$ — из более широкой области, состояний 1-4. После взаимодействия систем друг с другом, система $Y$ оказалась в узкой области, а $X$ — в широкой, но общий фазовый объём не изменился. 4 начальных состояния перешли в 4 конечных.

Очевидно, что пока физика не позволяет фазовому объёму изменяться с течением времени, невозможно сжать $Y$ сильнее, чем расширить $X$, и наоборот. Для каждой подсистемы, сжимаемой в пространстве состояний, какая-то другая подсистема должна расширяться в пространстве состояний.

Теперь допустим, что мы не уверены насчёт состояния системы $(X,Y)$, и наша неопределённость описывается равновероятным распределением по $S$. То есть, мы уверены, что $X$ находится в состоянии 1, но $Y$ может находиться в любом из состояний 1-4. Через минуту мы ожидаем увидеть $Y$ в состоянии 1, а $X$ — в любом из состояний 2-8. Фактически, $X$ может быть только в одном из состояний среди 2-8, но узнать конкретное состояние было бы слишком затратно, так что мы просто будем говорить 2-8.

Если рассмотреть энтропию Шэннона от нашей неуверенности о состояниях $X$ и $Y$, как о независимых системах, то $X$ начнёт с 0 бит энтропии, потому что имеет только одно определённое состояние, $Y$ начнёт с 2 бит, потому что она с равной вероятностью может оказаться в любом из четырёх состояний. (Между $X$ и $Y$ нет общей информации). Немного физики, и вот, энтропия $Y$ стала 0, но энтропия $X$ стала равна $log_2 7 = 2,8 бит$. Таким образом, энтропия перешла из одной системы в другую и уменьшилась в подсистеме $Y$. Однако из-за каких-то сложностей мы не потрудились отследить часть информации, и, следовательно (с нашей точки зрения), общая энтропия увеличилась.

Предположим, существовал бы физический процесс, который преобразовывал бы прошлые состояния в будущие состояния следующим образом:

$$X_2Y_1 \rightarrow X_2Y_1$$
$$X_2Y_2 \rightarrow X_2Y_1$$
$$X_2Y_3 \rightarrow X_2Y_1$$
$$X_2Y_4 \rightarrow X_2Y_1$$

Такой физический процесс на самом деле уменьшал бы энтропию, потому что независимо от того, где бы вы начинали, вы оказывались бы в одном и том же месте. Законы физики с течением времени могли бы сжать фазовое пространство.

Однако существует теорема — она называется теоремой Лиувилля и её можно доказать для наших законов физики, — которая утверждает, что такого не может быть: фазовый объём сохраняется.

Второй закон термодинамики — это следствие теоремы Лиувилля. Не важно, насколько хитроумна ваша машина из колёс и шестерёнок. Всё равно вы никогда не сможете уменьшить энтропию в одной подсистеме, не увеличивая её где-то в другом месте. Когда фазовое пространство одной подсистемы сужается, фазовое пространство другой подсистемы должно расширяться, и совместное пространство будет иметь тот же объем.

Однако, изначально компактное фазовое пространство может со временем расползтись и рассредоточиться. Поэтому для того, чтобы нарисовать простую границу вокруг этого беспорядка, придётся описать гораздо большую область, чем в начале. Именно это создаёт впечатление, что энтропия увеличивается. (А в квантовых системах, где развитие разных вселенных идёт разными путями, энтропия действительно возрастает в любой локальной вселенной. Но пока что пропустим это усложнение.)

Второй закон термодинамики вероятностный по своей природе — если вы спросите насчёт вероятности того, что горячая вода спонтанно перейдёт в состояние «холодная вода и электричество», то ответ — такая вероятность действительно существует, просто она очень мала. Это не означает, что теорема Лиувилля с малой вероятностью нарушается, теорема — это теорема, в конце концов. Это означает, что если вы вначале находитесь в большом фазовом пространстве, но не знаете, где именно, вы можете оценить небольшую вероятность оказаться в каком-то конкретном объёме фазового пространства. Поэтому, с бесконечно малой вероятностью этот конкретный стакан горячей воды может быть таким, который самопроизвольно превратится в электрический ток и кубики льда. (Пренебрегая, как обычно, квантовыми эффектами).

Таким образом, второй закон термодинамики по своей природе действительно является байесовским. Когда мы рассуждаем о реальной термодинамической системе, второй закон термодинамики — абсолютно строгое утверждение о ваших убеждениях, касающихся этой системы, но вероятностное утверждение о самой системе.

«Постойте, — говорите вы. — На уроках физики меня учили по-другому. На лекциях нам рассказывали, что термодинамика — это вроде как о температурах. Неопределённость — это субъективное ощущение! Температура воды в стакане — объективное свойство воды! Какое отношение имеет тепло к вероятности?»

О, у вас маловато доверия.

С одной стороны, связь между теплотой и вероятностью относительно проста: если вы не знаете про стакан воды ничего, кроме его температуры, то у вас гораздо больше неопределённости насчёт стакана горячей воды, чем насчёт стакана холодной.

Тепло — хаотичное движение множества молекул, и чем горячее, тем быстрее движутся молекулы. Не все молекулы в горячей воде движутся с одинаковой скоростью: «температура» — это не равномерная скорость всех молекул, а средняя скорость, которая, в свою очередь, соответствует прогнозируемому статистическому распределению скоростей. Дело в том, что чем горячее вода, тем быстрее могут быть молекулы воды, и, следовательно, у вас больше неопределённости о скорости любой отдельной молекулы (и не забудьте о том, что скорость — это вектор) . Когда вы умножите свои неопределённости относительно всех отдельных молекул, вы получите экспоненциально большую неопределённость относительно всего стакана воды.

Теперь возьмём логарифм этого экспоненциального объёма неопределённости и назовём его энтропией. Как вы видите, всё сходится.

Если посмотреть с другой стороны, связь менее очевидна. Предположим, что о некотором стакане воды вы изначально знали только то, что его температура составляла 72 градуса. Затем, внезапно, Святой Лаплас раскрывает вам точные координаты и скорости всех атомов в воде. Теперь вы прекрасно знаете состояние воды, поэтому, по определению информационной энтропии, её энтропия равна нулю. Делает ли это его термодинамическую энтропию нулевой? Будет ли вода холоднее из-за нашего знания?

Игнорируя квантовые эффекты, ответ: да! Вода будет холоднее!

Максвелл однажды спросил: «Почему мы не можем взять сосуд с равномерно распределённым горячим газом, разделить его перегородкой на две части — A и B, и сделать так, чтобы из В в А переходили только быстрые молекулы, а из А в В — только медленные? Если построить такой разделитель, то на стороне А мы получим горячий газ, а на стороне В — холодный. Мы тогда смогли бы дёшево охлаждать продукты, верно?»

Агент, который проверяет каждую молекулу газа и решает, пропускать ли её, известен под именем «демон Максвелла». И причина, по которой вы не можете построить эффективный холодильник таким образом, заключается в том, что демон Максвелла генерирует энтропию, когда проверяет скорости молекул газа и решает, пропускать молекулу или нет.

Но предположим, что вы уже знаете, где находятся все молекулы газа.

Тогда вы действительно можете запустить демона Максвелла и извлечь из этого полезную работу.

Поэтому (опять же игнорируя квантовые эффекты на данный момент), если вы знаете состояния всех молекул в стакане горячей воды, в истинно термодинамическом смысле он холодный: вы можете забрать электричество из воды и оставить кубик льда.

Это не нарушает теорему Лиувилля, потому что если $Y$ — это вода, и вы — демон Максвелла (обозначим как $M$), физический процесс ведёт себя так:

$$M_1Y_1 \rightarrow M_1Y_1$$
$$M_2Y_2 \rightarrow M_2Y_1$$
$$M_3Y_3 \rightarrow M_3Y_1$$
$$M_4Y_4 \rightarrow M_4Y_1$$

Поскольку демон Максвелла знает точное состояние $Y$, это общая информация между $M$ и $Y$. Общая информация уменьшает энтропию связанной системы $(M,Y)$: $H(M,Y) = H(M) + H(Y) - I(M;Y)$. $M$ имеет 2 бита энтропии, $Y$ тоже имеет 2 бита энтропии, и общая информация - 2 бита, поэтому $(M,Y)$ имеет в сумме 2 + 2 - 2 = 2 бита энтропии. Физический процесс просто преобразует «холодность» (негэнтропию) общей информации, чтобы сделать холодной настоящую воду. После этого $M$ имеет 2 бита энтропии, $Y$ имеет 0 бит энтропии, а общая информация равна 0. Как видите, всё в порядке!

И не говорите мне, что знание «субъективно». Знание представлено в мозге, и это делает его таким же физическим, как и всё остальное. Для того чтобы $M$ физически представлял точную картину состояния $Y$, физическое состояние $M$ должно коррелировать с состоянием $Y$. Вы можете воспользоваться этим термодинамическим преимуществом - оно называется двигателем Сцилларда.

Или как заметил Эдвин Томпсон Джейнс: «Старая поговорка „Знание — сила“ очень правдива, причём как в человеческих отношениях, так и в термодинамике».

И наоборот, одна подсистема не может увеличить общую информацию с другой подсистемой, без 1) взаимодействия с ней и без 2) выполнения термодинамической работы.

В противном случае, вы могли бы создать демона Максвелла и нарушить второй закон термодинамики, что, в свою очередь, нарушило бы теорему Лиувилля, а это невозможно в стандартной модели физики.

Таким образом, чтобы сформировать точные убеждения о чём-то, вам совершенно необходимо за этим наблюдать. Это очень физический, очень реальный процесс: любой рациональный разум «работает» в термодинамическом смысле, а не только в смысле умственных усилий.

(Иногда говорят, что термодинамическая работа требуется для стирания битов при подготовке к новому наблюдению, но это различие — всего лишь вопрос терминов, математика процесса однозначна.)

(Здесь я пока не буду рассматривать вопрос открытия логических «истин» — в некоторой степени потому, что я пока размышляю, как это точно формализовать. В термодинамике знание логических истин не считается негэнтропией, как можно было бы ожидать, поскольку компьютер, способный выполнять обратимые вычисления, смог бы вычислять логические истины с любыми произвольно низкими затратами. Вышенаписанное относится к разуму, который знает о логике всё. Любой более простой ум обязательно будет менее эффективным.)

«Для формирования точных убеждений требуется соответствующее количество доказательств» — это очень убедительная истина как в человеческих отношениях, так и в термодинамике. Если бы слепая вера действительно работала как метод исследования, вы могли бы превратить тёплую воду в электричество и кубики льда. Просто создайте Демона Максвелла, который слепо верит в точные значения скоростей молекул.

Двигатели познания не так сильно отличаются от тепловых двигателей, хоть они и манипулируют энтропией более тонким образом, чем сжигание бензина. Например, они схожи тем, что двигатели познания не являются абсолютно эффективными, они должны излучать лишнее тепло, как его излучает двигатель автомобиля или холодильник.

Фраза «холодная рациональность» правдива в таком смысле, о котором голливудские сценаристы даже не могли и подумать (и неверна в том смысле, который они имели в виду).

Поэтому, если вы не можете сказать мне, какой именно шаг в вашем рассуждении нарушает законы физики, давая вам истинное знание незримого, то не ожидайте, что я поверю в то, что всё сложное умное рассуждение способно их нарушить.