Правило Байеса: шансы — различия между версиями

Материал из Вики LessWrong.ru
Перейти к: навигация, поиск
м (Золотая страница)
 
(не показано 19 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
В одной из формулировок байесовское правило выглядит так: априорные шансы х соотношение условных шансов = апостериорные шансы.
+
{{Golden}}
 +
 
 +
{{Arbital|bayes_rule_odds|Introduction to Bayes' rule: Odds form}}
 +
 
 +
В одной из формулировок байесовское правило выглядит так: '''априорные шансы х соотношение условных шансов = апостериорные шансы'''.
  
 
Если мы рассмотрим [[Водопадные диаграммы и относительные шансы|водопадную визуализацию проблемы с Болезнитом]], то будет наглядно видно, как относительные шансы помогают думать про два потока на вершине водопада.
 
Если мы рассмотрим [[Водопадные диаграммы и относительные шансы|водопадную визуализацию проблемы с Болезнитом]], то будет наглядно видно, как относительные шансы помогают думать про два потока на вершине водопада.
Строка 7: Строка 11:
 
</gallery>
 
</gallery>
  
−
Пропорциональное соотношение воды из красного потока к воде из синего будет тем же, независимо от того идет ли речь 200 и 800 литрах в секунду или о 20 000 и 80 000 литрах в секунду илл о 1 и 4 л/с. Пока и остальная часть водопада способствует сохранению пропорции, мы будем получать такую же пропорцию красной и синей воды внизу. Таким образом мы вполне оправданно можем игнорировать количество воды и рассматривать лишь пропорции.
+
Пропорциональное соотношение воды из красного потока к воде из синего будет тем же, независимо от того идет ли речь 200 и 800 литрах в секунду или о 20 000 и 80 000 литрах в секунду илл о 1 и 4 л/с. Пока и остальная часть водопада способствует сохранению пропорции, мы будем получать такую же пропорцию красной и синей воды внизу. Таким образом мы вполне оправданно можем игнорировать количество воды и рассматривать лишь пропорции.
  
−
Точно так же, важно пропорциональное соотношение между количеством попадающей в фиолетовый водоем воды из красного потока к количеству из синего, и соотношение между количеством молекул из каждого литра. Вниз падает 45% и 15% красной и синей воды и точно такое же соотношение между красной и синей водой внизу - 90% и 30%.
+
Точно так же, важно пропорциональное соотношение между количеством попадающей в фиолетовый водоем воды из красного потока к количеству из синего, и соотношение между количеством молекул из каждого литра. Вниз падает 45 % и 15 % красной и синей воды и точно такое же соотношение между красной и синей водой внизу — 90 % и 30 %.
  
 
<gallery>
 
<gallery>
Строка 15: Строка 19:
 
</gallery>
 
</gallery>
  
−
И это оправдывает игнорирование специфической информации о том что 90% красной воды падает вниз и 30% синей падает вниз, ведь это можно легко заменить соотношением (3 : 1).
+
И это оправдывает игнорирование специфической информации о том что 90 % красной воды падает вниз и 30 % синей падает вниз, ведь это можно легко заменить соотношением (3 : 1).
 +
 
 +
Это можно применить и для других проблем: предположим, что у нас есть медицинский тест, выявляющий болезнь с истинноположительной точностью в 90 % (10 % ложноотрицательных) и 30 % ложноположительных (70 % ложноотрицательных). Положительный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 60 % истинноположительными и 20 % ложноположительными. А отрицательный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 9 % ложноотрицательных и 63 % истинноотрицательных.
 +
 
 +
В целом, сила свидетельства является соотношением того, насколько более/менее вероятными разные возможные состояния мира делают наблюдению специфических феноменов. Но об этом позже.
 +
 
 +
== Уравнение ==
 +
Чтобы действительно выразить ТБ в формулах и доказать ее, нам потребуется ввести несколько новых обозначений.
 +
 
 +
=== Условная вероятность ===
 +
Во-первых, если <math>X</math> это утверждение, то <math>P(X)</math> это [[вероятность]] <math>X.</math>
 +
 
 +
Другими словами: <math>X</math> это что-то истинное или ложное в действительности, но у нас есть какая-то неопределенность по этому поводу, и <math>P(X)</math> — это способ выразить [[lwru:/Интерпретации «вероятности»|уровень нашей убежденности]] в том, что <math>X</math> истинно. Пациент, на самом деле, либо болен либо здоров, но если вы не уверены, свидетельство может способствовать сдвигу субъективной вероятности к 43 % в пользу того, что он болен.
  
−
Это можно применить и для других проблем: предположим, что у нас есть медицинский тест, выявляющий болезнь с истинноположительной точностью в 90% (10% ложноотрицательных) и 30% ложноположительных (70% ложноотрицательных). Положительный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 60% истинноположительными и 20% ложноположительными. А отрицательный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 9% ложноотрицательных и 63% истинноотрицательных.
+
<math>\mathbb \neg X</math> означает «<math>X</math> ложно», так что <math>\mathbb P(\neg X)</math> означает «вероятность, что <math>X</math> ложно».
  
−
В целом, сила свидетельства является соотношением того, насколько более/менее вероятными разные возможные состояния мира способствуют наблюдению специфических феноменов. Но об этом позже.
+
Задача про Болезнит включала больше утверждений посложней, например:
  
−
Уравнение
+
* Вероятность в 90 %, что у пациента почернеет депрессор, при условии что он заражен.
 +
* Вероятность в 30 %, что у пациента почернеет депрессор, при условии что он здоров.
 +
* Вероятность в 3/7, что пациент заражен, при условии, что его депрессор почернел.
  
−
Чтобы действительно выразить ТБ в формулах и доказать ее, нам потребуется ввести несколько новых обозначений.
+
<gallery>
 +
3MIl3s5K.png
 +
</gallery>
 +
 
 +
В этих случаях мы идем от факта про который мы «знаем» или «предполагаем», что он истинен (справа), к утверждению (слева), вероятность которого мы оцениваем, принимая во внимание «известный» факт.
 +
 
 +
Такие вероятностные утверждения называются «условными вероятностями». Если выразить приведенные выше утверждения с помощью стандартных формул, то они будут выглядеть так:
 +
 
 +
* <math>\mathbb P(blackened \mid sick) = 0.9</math>
 +
 
 +
* <math>\mathbb P(blackened \mid \neg sick) = 0.3</math>
 +
 
 +
* <math>\mathbb P(sick \mid blackened) = 3/7</math>
 +
 
 +
(прим. blackened — почерневший депрессор; sick — зараженный)
 +
 
 +
<sarcasm>Стандартная запись <math>\mathbb P(X \mid Y)</math> означающая «вероятность <math>X</math>, при условии что <math>Y</math> истинно», содержит «полезную» вертикальную линию, которая, в свою очередь, не дает никаких визуальных подсказок о том, что справа находится предполагаемый факт, а слева — выводимый. </sarcasm>
 +
 
 +
Вот как определяется условная вероятность, при использовании обозначений <math>X \wedge Y</math> для обозначения «X и Y» или же «оба <math>X</math> и <math>Y</math> истинны»:
 +
 
 +
<math>\mathbb P(X \mid Y) := \frac{\mathbb P(X \wedge Y)}{\mathbb P(Y)}</math>
 +
 
 +
То есть с точки зрения задачи с Болезнитом, <math>\mathbb P(sick \mid  blackened)</math> вычисляется путем деления 18 % больных студентов с почерневшим депрессором (<math>\mathbb P(sick \wedge blackened)</math>) на 42 % всех с почерневшим депрессором (<math>\mathbb P(blackened)</math>).
 +
 
 +
Или рассмотрим <math>\mathbb P(blackened \mid \neg sick),</math> — вероятность того, что депрессор почернеет, при условии что пациент здоров. Что эквивалентно делению 24 здоровых студентов с почерневшим депрессором на 80 здоровых. 24 / 80 = 3/10, что соответствует 30 % ложноположительных результатов из начальных условий.
 +
 
 +
Закон условных вероятностей можно выразить так: "Сосредоточим все внимание на возможных мирах, где <math>Y</math> истинно, или истинны Y-подобные штуки. Рассматривая лишь случаи где <math>Y</math> истинно, сколько мы найдем случаев внутри этого множества, где еще и <math>X</math> истинно? То есть где истинно <math>Y</math> и <math>X</math>?
 +
 
 +
Для получения дополнительной информации обратитесь к статье про [[Условная вероятность|условные вероятности]].
 +
 
 +
=== Правило Байеса ===
 +
Правило Байеса гласит: '''априорные шансы х соотношение условных шансов = апостериорные шансы'''.
 +
 
 +
Что для задачи про Болезнит будет выглядеть так:
 +
 
 +
<math>\dfrac{\mathbb P({sick})}{\mathbb P(healthy)} \times \dfrac{\mathbb P({blackened}\mid {sick})}{\mathbb P({blackened}\mid healthy)} = \dfrac{\mathbb P({sick}\mid {blackened})}{\mathbb P(healthy\mid {blackened})}.</math>
 +
(прим. blackened — почерневший депрессор; sick — зараженный; healthy — здоровый)
 +
 
 +
[[Априорная вероятность|Априорные]] [[шансы]] означают соотношение больных пациентов к здоровым <math>1 : 4</math>. Превращение этих шансов в вероятности даст нам <math>\mathbb P(sick)=\frac{1}{4+1}=\frac{1}{5}=20\%</math>.
 +
 
 +
[[Соотношение условных вероятностей]] означает соотношение того, насколько вероятней у больного пациента почернеет депрессор к положительному результату у здорового, что с использованием обозначения для [[Условная вероятность|условных вероятностей]] будет выглядеть как <math>\frac{\mathbb P(positive \mid sick)}{\mathbb P(positive \mid healthy)}=\frac{0.90}{0.30},</math> то есть соотношение условных шансов будет <math>3 : 1.</math>
 +
 
 +
[[Апостериорная вероятность|Апостериорные]] шансы означают соотношение больных пациентов к здоровым среди всех с положительным результатом, что выражается как <math>\frac{\mathbb P(sick \mid positive)}{\mathbb P(healthy \mid positive)} = \frac{3}{4}</math>, то есть шансы <math>3 : 4</math>.
 +
 
 +
Для извлечения вероятности из шансов нам следует держать в уме, что [[Взаимоисключающие и исчерпывающие гипотезы|полная вероятность взаимоисключающих событий]] в сумме всегда составляет <math>1,</math> то есть есть 100 % вероятность для ''чего-то''. Раз уж все либо болеют либо здоровы, мы можем [[Нормализация вероятностей|нормализовать]] соотношение шансов <math>3 : 4</math> путем деления их на сумму: <math>(\frac{3}{3+4} : \frac{4}{3+4}) = (\frac{3}{7} : \frac{4}{7}) \approx (0.43 : 0.57)</math>
 +
 
 +
…что в итоге дает нам вероятности <math>(0.43 : 0.57)</math>, пропорциональные шансам <math>(3 : 4)</math>, с суммой в <math>1</math>. Будет странно иметь вероятность в <math>3</math> (300 %) для какого-то события.
 +
 
 +
Если визуализировать это с помощью водопадной диаграммы:
 +
 
 +
<gallery>
 +
4CXsoZhA.png
 +
</gallery>
 +
 
 +
Мы можем обобщить это для любых конкурирующих гипотез <math>H_j</math> и <math>H_k</math> и свидетельства <math>e</math>, что теорема Байеса может быть записана как:
 +
 
 +
<math>\dfrac{\mathbb P(H_j)}{\mathbb P(H_k)} \times \dfrac{\mathbb P(e \mid H_j)}{\mathbb P(e \mid H_k)} = \dfrac{\mathbb P(H_j \mid e)}{\mathbb P(H_k \mid e)}</math>
 +
 
 +
что говорит нам: «соотношение апостериорных шансов для конкурирующих гипотез <math>H_j</math> и <math>H_k</math> (при условии наблюдения свидетельства <math>e</math>), равно произведению априорных шансов с соотношением того, как <math>H_j</math> предсказывает свидетельство в сравнении с <math>H_k.</math>»
 +
 
 +
Если <math>H_j</math> и <math>H_k</math> [[Взаимоисключающие и исчерпывающие гипотезы|взаимоисключающие и исчерпывающие]], мы можем конвертировать апостериорные шансы в апостериорную вероятность для <math>H_j</math> путем [[Нормализация вероятностей|нормализации]] шансов: делением соотношения шансов на их сумму, чтобы элементы нового соотношения суммировались к <math>1</math>.
 +
 
 +
=== Доказательство теоремы Байеса ===
 +
Перестроим [[Условная вероятность|определение условных вероятностей]] <math>\mathbb P(X \wedge Y) = \mathbb P(Y) \cdot \mathbb P(X|Y).</math> То есть чтобы найти «часть всех пациентов которые больны и с положительным результатом» мы перемножаем «часть пациентов, которые больны» и «вероятность того, что у зараженного пациента почернеет депрессор».
 +
 
 +
Тогда доказательство теоремы Байеса, где <math>e_0</math> — новое свидетельство, будет выглядеть так:
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>
 +
\frac{\mathbb P(H_j)}{\mathbb P(H_k)}
 +
\cdot
 +
\frac{\mathbb P(e_0 | H_j)}{\mathbb P(e_0 | H_k)}
 +
=
 +
\frac{\mathbb P(e_0 \wedge H_j)}{\mathbb P(e_0 \wedge H_k)}
 +
=
 +
\frac{\mathbb P(H_j \wedge e_0)/\mathbb P(e_0)}{\mathbb P(H_k \wedge e_0)/\mathbb P(e_0)}
 +
=
 +
\frac{\mathbb P(H_j | e_0)}{\mathbb P(H_k | e_0)}
 +
</math>
 +
ч.т.д.
 +
 
 +
Для задачи про Болезнит, шаги этого доказательства соответствуют операциям:
 +
 
 +
<math>
 +
\frac{0.20}{0.80}
 +
\cdot
 +
\frac{0.90}{0.30}
 +
=
 +
\frac{0.18}{0.24}
 +
=
 +
\frac{0.18/0.42}{0.24/0.42}
 +
=
 +
\frac{0.43}{0.57}
 +
</math>
 +
 
 +
Используя красный цвет для обозначения больных, синий — для здоровых, серый для смеси больных и здоровых, и знак «+» для положительного результата, можно визуализировать вычисления:
 +
 
 +
<gallery>
 +
5YBc2nYo.png
 +
</gallery>
  
−
Условная вероятность
 
  
−
Во-первых, если <math>X</math> это утверждение, то <math>P(X)</math> это [[вероятность]] <math>X.</math>
+
Этот процесс, где мы наблюдаем свидетельства и используем соотношение условных вероятностей (отношения правдоподобия) для трансформации априорных убеждений в апостериорные называется «байесианским апдейтом» или же «пересмотром убеждений».
  
−
Другими словами: <math>X</math> это что-то истинное или ложное в действительности, но у нас есть какая-то неопределенность по этому поводу, и <math>P(X)</math> - это способ выразить [[уровень нашей убежденности]] в том, что <math>X</math> истинно. Пациент, на самом деле, либо болен либо здоров, но если вы не уверены, свидетельство может способствовать сдвигу субъективной вероятности к 43% в пользу того, что он болен.
+
=== Статьи по теме ===
 +
* Оригинал статьи: [https://arbital.com/p/bayes_rule_odds/?l=1x8&pathId=24787  Introduction to Bayes' rule: Odds form ]
 +
* Каталог статей гайда по ТБ: [[Теорема Байеса]]
 +
* Предыдущая статья в гайде: [[Водопадные диаграммы и относительные шансы]]
 +
* Следующая статья в гайде: [[Правило Байеса: пропорции]] [https://arbital.com/p/bayes_rule_proportional/?pathId=24787  Bayes' rule: Proportional form ]
  
−
<math>\mathbb \neg X</math> означает "<math>X</math> ложно", так что <math>\mathbb P(\neg X)</math> означает "вероятность, что <math>X</math> ложно".
+
[[Категория:Теория вероятностей]]

Текущая версия на 18:10, 4 декабря 2023

Golden.png
 Качественная статья, пример и образец для остальных статей этой вики. Только самые лучшие статьи получают этот знак и попадают в категорию золотых страниц.


Эта статья является переводом или основана на переводе статьи с Arbital: Introduction to Bayes' rule: Odds form

В одной из формулировок байесовское правило выглядит так: априорные шансы х соотношение условных шансов = апостериорные шансы.

Если мы рассмотрим водопадную визуализацию проблемы с Болезнитом, то будет наглядно видно, как относительные шансы помогают думать про два потока на вершине водопада.

  • 2eQh2qUt.png

Пропорциональное соотношение воды из красного потока к воде из синего будет тем же, независимо от того идет ли речь 200 и 800 литрах в секунду или о 20 000 и 80 000 литрах в секунду илл о 1 и 4 л/с. Пока и остальная часть водопада способствует сохранению пропорции, мы будем получать такую же пропорцию красной и синей воды внизу. Таким образом мы вполне оправданно можем игнорировать количество воды и рассматривать лишь пропорции.

Точно так же, важно пропорциональное соотношение между количеством попадающей в фиолетовый водоем воды из красного потока к количеству из синего, и соотношение между количеством молекул из каждого литра. Вниз падает 45 % и 15 % красной и синей воды и точно такое же соотношение между красной и синей водой внизу — 90 % и 30 %.

  • 26FOndjc.png

И это оправдывает игнорирование специфической информации о том что 90 % красной воды падает вниз и 30 % синей падает вниз, ведь это можно легко заменить соотношением (3 : 1).

Это можно применить и для других проблем: предположим, что у нас есть медицинский тест, выявляющий болезнь с истинноположительной точностью в 90 % (10 % ложноотрицательных) и 30 % ложноположительных (70 % ложноотрицательных). Положительный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 60 % истинноположительными и 20 % ложноположительными. А отрицательный результат такого теста будет свидетельством такой же силы, как и для теста с 9 % ложноотрицательных и 63 % истинноотрицательных.

В целом, сила свидетельства является соотношением того, насколько более/менее вероятными разные возможные состояния мира делают наблюдению специфических феноменов. Но об этом позже.

Уравнение[править]

Чтобы действительно выразить ТБ в формулах и доказать ее, нам потребуется ввести несколько новых обозначений.

Условная вероятность[править]

Во-первых, если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} это утверждение, то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(X)} это вероятность Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X.}

Другими словами: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} это что-то истинное или ложное в действительности, но у нас есть какая-то неопределенность по этому поводу, и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(X)}  — это способ выразить уровень нашей убежденности в том, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} истинно. Пациент, на самом деле, либо болен либо здоров, но если вы не уверены, свидетельство может способствовать сдвигу субъективной вероятности к 43 % в пользу того, что он болен.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb \neg X} означает «Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} ложно», так что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(\neg X)} означает «вероятность, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} ложно».

Задача про Болезнит включала больше утверждений посложней, например:

  • Вероятность в 90 %, что у пациента почернеет депрессор, при условии что он заражен.
  • Вероятность в 30 %, что у пациента почернеет депрессор, при условии что он здоров.
  • Вероятность в 3/7, что пациент заражен, при условии, что его депрессор почернел.
  • 3MIl3s5K.png

В этих случаях мы идем от факта про который мы «знаем» или «предполагаем», что он истинен (справа), к утверждению (слева), вероятность которого мы оцениваем, принимая во внимание «известный» факт.

Такие вероятностные утверждения называются «условными вероятностями». Если выразить приведенные выше утверждения с помощью стандартных формул, то они будут выглядеть так:

  • Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(blackened \mid sick) = 0.9}
  • Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(blackened \mid \neg sick) = 0.3}
  • Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(sick \mid blackened) = 3/7}

(прим. blackened — почерневший депрессор; sick — зараженный)

<sarcasm>Стандартная запись Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(X \mid Y)} означающая «вероятность Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} , при условии что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} истинно», содержит «полезную» вертикальную линию, которая, в свою очередь, не дает никаких визуальных подсказок о том, что справа находится предполагаемый факт, а слева — выводимый. </sarcasm>

Вот как определяется условная вероятность, при использовании обозначений Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X \wedge Y} для обозначения «X и Y» или же «оба Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} истинны»:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(X \mid Y) := \frac{\mathbb P(X \wedge Y)}{\mathbb P(Y)}}

То есть с точки зрения задачи с Болезнитом, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(sick \mid blackened)} вычисляется путем деления 18 % больных студентов с почерневшим депрессором (Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(sick \wedge blackened)} ) на 42 % всех с почерневшим депрессором (Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(blackened)} ).

Или рассмотрим Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(blackened \mid \neg sick),}  — вероятность того, что депрессор почернеет, при условии что пациент здоров. Что эквивалентно делению 24 здоровых студентов с почерневшим депрессором на 80 здоровых. 24 / 80 = 3/10, что соответствует 30 % ложноположительных результатов из начальных условий.

Закон условных вероятностей можно выразить так: "Сосредоточим все внимание на возможных мирах, где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} истинно, или истинны Y-подобные штуки. Рассматривая лишь случаи где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} истинно, сколько мы найдем случаев внутри этого множества, где еще и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} истинно? То есть где истинно Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} ?

Для получения дополнительной информации обратитесь к статье про условные вероятности.

Правило Байеса[править]

Правило Байеса гласит: априорные шансы х соотношение условных шансов = апостериорные шансы.

Что для задачи про Болезнит будет выглядеть так:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathbb P({sick})}{\mathbb P(healthy)} \times \dfrac{\mathbb P({blackened}\mid {sick})}{\mathbb P({blackened}\mid healthy)} = \dfrac{\mathbb P({sick}\mid {blackened})}{\mathbb P(healthy\mid {blackened})}.} (прим. blackened — почерневший депрессор; sick — зараженный; healthy — здоровый)

Априорные шансы означают соотношение больных пациентов к здоровым Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 : 4} . Превращение этих шансов в вероятности даст нам Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(sick)=\frac{1}{4+1}=\frac{1}{5}=20\%} .

Соотношение условных вероятностей означает соотношение того, насколько вероятней у больного пациента почернеет депрессор к положительному результату у здорового, что с использованием обозначения для условных вероятностей будет выглядеть как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathbb P(positive \mid sick)}{\mathbb P(positive \mid healthy)}=\frac{0.90}{0.30},} то есть соотношение условных шансов будет Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3 : 1.}

Апостериорные шансы означают соотношение больных пациентов к здоровым среди всех с положительным результатом, что выражается как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathbb P(sick \mid positive)}{\mathbb P(healthy \mid positive)} = \frac{3}{4}} , то есть шансы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3 : 4} .

Для извлечения вероятности из шансов нам следует держать в уме, что полная вероятность взаимоисключающих событий в сумме всегда составляет Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1,} то есть есть 100 % вероятность для чего-то. Раз уж все либо болеют либо здоровы, мы можем нормализовать соотношение шансов Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3 : 4} путем деления их на сумму: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\frac{3}{3+4} : \frac{4}{3+4}) = (\frac{3}{7} : \frac{4}{7}) \approx (0.43 : 0.57)}

…что в итоге дает нам вероятности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0.43 : 0.57)} , пропорциональные шансам Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (3 : 4)} , с суммой в Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} . Будет странно иметь вероятность в Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3} (300 %) для какого-то события.

Если визуализировать это с помощью водопадной диаграммы:

  • 4CXsoZhA.png

Мы можем обобщить это для любых конкурирующих гипотез Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_j} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_k} и свидетельства Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e} , что теорема Байеса может быть записана как:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathbb P(H_j)}{\mathbb P(H_k)} \times \dfrac{\mathbb P(e \mid H_j)}{\mathbb P(e \mid H_k)} = \dfrac{\mathbb P(H_j \mid e)}{\mathbb P(H_k \mid e)}}

что говорит нам: «соотношение апостериорных шансов для конкурирующих гипотез Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_j} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_k} (при условии наблюдения свидетельства Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e} ), равно произведению априорных шансов с соотношением того, как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_j} предсказывает свидетельство в сравнении с Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_k.} »

Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_j} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_k} взаимоисключающие и исчерпывающие, мы можем конвертировать апостериорные шансы в апостериорную вероятность для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_j} путем нормализации шансов: делением соотношения шансов на их сумму, чтобы элементы нового соотношения суммировались к Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} .

Доказательство теоремы Байеса[править]

Перестроим определение условных вероятностей Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb P(X \wedge Y) = \mathbb P(Y) \cdot \mathbb P(X|Y).} То есть чтобы найти «часть всех пациентов которые больны и с положительным результатом» мы перемножаем «часть пациентов, которые больны» и «вероятность того, что у зараженного пациента почернеет депрессор».

Тогда доказательство теоремы Байеса, где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e_0}  — новое свидетельство, будет выглядеть так:


Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathbb P(H_j)}{\mathbb P(H_k)} \cdot \frac{\mathbb P(e_0 | H_j)}{\mathbb P(e_0 | H_k)} = \frac{\mathbb P(e_0 \wedge H_j)}{\mathbb P(e_0 \wedge H_k)} = \frac{\mathbb P(H_j \wedge e_0)/\mathbb P(e_0)}{\mathbb P(H_k \wedge e_0)/\mathbb P(e_0)} = \frac{\mathbb P(H_j | e_0)}{\mathbb P(H_k | e_0)} } ч.т.д.

Для задачи про Болезнит, шаги этого доказательства соответствуют операциям:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{0.20}{0.80} \cdot \frac{0.90}{0.30} = \frac{0.18}{0.24} = \frac{0.18/0.42}{0.24/0.42} = \frac{0.43}{0.57} }

Используя красный цвет для обозначения больных, синий — для здоровых, серый для смеси больных и здоровых, и знак «+» для положительного результата, можно визуализировать вычисления:

  • 5YBc2nYo.png


Этот процесс, где мы наблюдаем свидетельства и используем соотношение условных вероятностей (отношения правдоподобия) для трансформации априорных убеждений в апостериорные называется «байесианским апдейтом» или же «пересмотром убеждений».

Статьи по теме[править]

Источник — «https://lesswrong.ru/wiki/index.php?title=Правило_Байеса:_шансы&oldid=3302»